2013天津高考

#家长提问并回答问题#

大家好！本文和大家分享一个2013年天津高考数学真题。这是天津高考数学试卷第14题，即填空压轴题，分值5分。这道题考察的是求基本不等式的最大值的问题，难度不算太大，但是很多同学做不到。我们一起来看看这个问题。

求基本不等式的最大值需要满足三个条件，也就是我们常说的“一正二定三相等。”“一正”是指所有项都是正数，“二定”是指项的和或积是定值，“三相”是指取等号的条件需要验证，即只有所有项相等时才能取等号。

近年来，单独用基本不等式求最大值的问题在全国试卷中很少被考查，更多的时候是用其他知识综合考查。但往年的一些地方卷中，往往会有单独的题目。

下面给大家分享三个解决这个问题的方法。

解决方案1:

我们先来看代数表达式。“一正”是满意的，但直接用基本不等式“两定”就不满意，只好先变形。我们做什么呢我们把1/2|a|的分子分母同时乘以2，用a+B代替分子2，然后展开得到b/4|a|+|a|/b+a/4|a|。此时，前两项可以用基本不等式处理，得到≥1+a/4|a|，当且仅当b/4|a|=|a|/b为B ^ 2 = 4A ^ 2。显然，当a < 0时，a/4 | a | < 0，所以1+a/4|a|最小，即b=-2a。而a+b=2，所以我们得到a=-2。

解决方案2:

题干讲的是已知条件是代数表达式，但要求是分数的最大值。看到这里，相信很多同学都有反应了。在这种情况下，可以使用“1”进行替换。

先把需要的分数乘以2，然后用a+b代替2，为了保证最终值不变，我们把它乘以1/2。然后我们展开(a+b)(1/2|a|+|a|/b)，这也是很有技巧的，就是a+b乘以1/2|a|时直接展开，乘以|a|/b时由a+b变为2，从而得到a/2 | a。很明显，如果上面的公式要取最小值，那么a < 0，即上面的公式≥[-1/2+(-b/2a)+(-2a/b)]，然后用最后两项求最小值，再通过验证等价的条件就可以求出a的值。

解决方案3:

可以从a+b=2，b=2-a得到，再换算成1/2|a|+|a|/(2-a)。接下来我们将分类讨论，去掉绝对值符号。

当a > 0时，上式去掉绝对值符号后变成1/2a+a/(2-a)，再匹配后变成(2-a)/4a+a/(2-a)+1/4，然后利用基本不等式求最小值，验证等价的条件。这里需要注意的是，由于b > 0，所以2-a > 0是常数。

当a 0时的最小值，所以最终答案是a < 0取最小值时a的值。

这个问题我就在这里和大家分享一下。你学会了吗？