2013年四川高考

大家好！本文将与大家分享2013年四川高考理科数学大结局。此题综合考查导数的计算、导数与函数的单调性、导数的几何意义、线性方程的求解、直线间的位置关系、基本不等式等等。作为压轴题，这个题目难度不大，很多学者说题目很简单。

我们来看第一个问题:求函数的单调区间。

函数f(x)是分段函数，因此我们也相应地分段讨论。

当x < 0时，函数f(x)是二次函数。我们直接公式化，得到f(x) = x 2+2x+a = (x+1) 2+a-1。根据二次函数的单调性，可以知道f (x)在(-∞，-1)单调递减，在。

当x > 0时，f(x)=lnx是增函数。

基于以上讨论，我们可以得到函数f(x)的单调区间。

第一次小考很简单，可以说是一个给分的问题，但是很多同学还是犯了错误。总结一下，常见的错误有两个:一是在求二次函数的单调区间时忘记了x < 0的前提，二是将两个单调递增的区间用“∨”连接起来。这是两个比较低级的错误。如果你在高考中犯了这样的错误，那就太可惜了。

我们来看第二个问题:寻求最大价值。

两条直线是垂直的，所以这两条直线的斜率的乘积等于-1，而且都是函数f(x)的像的切线，所以我们对f(x)求导就可以得到两条切线的斜率。

根据题意，x1 < x2 < 0，当f (x) = x 2+2x+a时，则f & # 39(x)=2x+2 .所以根据导数的几何意义，A点切线的斜率为f & # 39(x1)=2×1+2，b点切线斜率为f & # 39(x2)=2×2+2，所以有(2×1+2)(2×2+2)=-1。由于x1 < x2，必然有2×1+2 0，所以x2-x1 =[-(2 x1+2)+(2 x2+2)]/2≥√[-(2 x1+2)]= 1。这样就得到x2-x1的最小值，但要得到基本不等式的最大值，必须验证等价的条件。

最后看第三个问题:求参数a的取值范围。

因为两条切线重合，如果我们都写斜截面，那么两条切线的斜率相同，Y轴上的截距也相等。

注意这个问题没有给出x1和x2的具体范围，需要分类讨论。显然，当A点和B点都在二次函数或对数函数的像上时，两点的切线不能重合，所以有x1 < 0 < x2。

接下来利用导数的几何意义计算两条切线的斜率，然后根据直线的点斜方程表示两条切线方程，化为斜方程。然后根据两条切线重合，y轴上斜率相等，截距相等，就可以得到一个方程组。根据方程组的特点，先求出x1的取值范围，然后消去x2，通过参数分离构造新的函数。最后找到新函数的取值范围，即参数A的取值范围。

这个问题我就在这里和大家分享一下。你学会了吗？