江苏高考数学试卷2013

大家好！本文与大家分享2009年江苏高考数学试卷第一解。本题目综合考察了向量计算和简单三角恒等式变换的知识，是一个非常经典的题目，高中生应该掌握。我们一起来看看这个问题。

我们来看第一个问题:求tan(α+β)的值。

因为矢量a垂直于矢量b-2c，所以a (b-2c) = 0。向量A，B，C的坐标已经在题干里讲过了，所以我们可以求出向量b-2c的坐标。如果两个向量垂直，则它们的数量积等于零，即对应坐标的乘积之和为零，从而得到一个关于sinα，cosα，sinβ，cosβ的关系式。然后根据两个角之和的正余弦公式，可以转化为:sin(α+β)-2cos(α+β)=0，从而tan(α+β)=2。

另外，还有一种处理A (b-2c) = 0的方法，即利用向量计算的分布律展开，得到A B-2a C = 0。然后通过矢量积的坐标计算就可以得到tan(α+β)的值。

看第二个问题:求|b+c|的最大值。

先表示出b+c的坐标，然后根据向量模长的坐标计算公式，即向量的模长等于向量的横坐标和纵坐标的平方和，计算出最大值，即计算出17-15sin2β的最大值，即计算出sin2β的最小值。因为sin2beta的最小值是-1，17-15 sin2beta的最大值等于17-15(-1)=32，所以|b+c|的最大值是4√2。

另外，求向量的模长还有一个很重要的方法:先平方再求根，即先计算向量的平方，再求根得到它的模长。

(b+c)^2=b^2+2bc+c^2=1+2(sinβcosβ-16sinβcosβ)+16=17-15sinβcosβ=17-15sin2β。下面的计算方法与前面的方法相同。

最后看第三个问题:证明。

因为tanαtanβ=16，而A和B中的坐标是正弦和余弦，所以三角恒等式变换中需要用到一个很重要的技巧:切弦，即tanα=sinα/cosα，tanβ=sinβ/cosβ。

切串后得到:sinαsinβ=16cosαcosβ，即4 cos α 4 cos β-sin α sin β = 0，所以a//b/b。

总的来说，这个题目不难，但是很经典，高中生一定要掌握。