知识源于沉淀 一、线平行判断:
(1)如果一条直线平行于一个平面，并且通过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线平行于交线。
直线和交线平行图直线和交线的平行图
②若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。
③垂直于同一平面的两条直线平行。
二、线条垂直判断:
(1)平面上的直线垂直于一条对角线在这个平面上的投影，所以它也垂直于这条对角线。
(2)平面中的直线垂直于这个平面的一条对角线，所以垂直于这条对角线的投影。
(3)如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面中的所有直线。
补充:如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也一定垂直于平行线中的另一条。
三、直线与平面平行的判断:
如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面。
②两个平面平行，一个平面内的直线必须平行于另一个平面。
四、平面平行性的判断:
①一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，两个平面平行。
②垂直于同一条直线的两个平面平行。
五、线条垂直的判断:
如果一条直线垂直于平面上的两条相交直线，则这条直线垂直于平面。
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
③直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个平面。
(4)若两个平面垂直，则一个平面中垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
六、纵向判断:
一个平面穿过另一个平面的垂线，两个平面互相垂直。
7.空之间角度的求解:(所有角度问题最终都会转化为三角形问题，尤其是直角三角形)
(1)不同平面内直线形成的角:
通过直线的平移，将不同平面内的直线所成的角转化为平面内直线相交所成的角。
不同平面的直线所形成的角度范围:0
注意:
如果不同平面中的一条线是三角形的一边，平移时可以找到三角形的中线。有些还可以填充形状，
如:将三棱柱填充成四棱柱；在立方体中加入三个相同的立方体，组成一个底面为正方形的长方体。
(2)线与面所成的角:
斜线与平面的夹角:斜线与其在平面上的投影所成的角。
范围0
③二面角:
关键是求二面角的平面角。
方法有:①定义法；②三垂直定理法；③垂直面法；
定义方法:
以二面角边上的任意一点为端点，在两个平面内作两条垂直于该边的射线，这两条射线所形成的平面角称为二面角。
您也可以使用投影方法:
cosθ= S ‘/S；其中θ是二面角α-l-β的大小。
s是封闭几何图形在α内的面积；s ‘是α内的封闭几何图形在β内投影的面积。
八、夹角公式:
九、求点到面距离的方法:
①直接法:直接确定点到平面的垂线长度(垂线一般在二面角所在的平面上)；
②传递法:换算成另一点到平面的距离(利用平行线与平面的性质)；
③体积法:利用三棱锥的体积公式。
④向量法:
X.空之间向量的坐标运算
XI。球
(1)球的半径是r，它是
②球的组合
(1)球体和长方体的组合:
长方体的外切球的直径是长方体的对角线长度。
(2)球体与立方体的结合:
立方体的内切球的直径是立方体的边长；
立方体的棱柱球体的直径是立方体的对角线长度；
立方体外接球的直径是立方体的对角线长度。
(3)球体与正四面体的结合:
边长为a的正四面体的内接球面半径为(√ 6/12) a。
十二、多面体:
(1)棱镜:两个底面相互平行，侧面为平行四边形，侧边平行相等。
(2)正金字塔:底部是正多边形，侧面是等腰三角形，顶点在底部的投影是底部的中心。
自然:
Ⅰ.平行于底面的截面与底面相似；
横截面的边长与底面的对应边长之比等于截棱锥的高度与原棱锥的高度之比；
它们的面积比等于截顶棱锥的高度与原始棱锥的高度的平方比；
截棱锥的体积与原棱锥的体积之比等于截棱锥的高度与原棱锥的高度之比的立方；
Ⅱ.所有的边都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形
实现边、高、斜高之间的转换。
(3)正四面体:
对于边长为a的正四面体问题，可以补充为边长√ 2/2 a的三次问题。
对边之间的距离是√2/2 a(立方体的边长)。
正四面体的高度√6/3 a (= 2/3 × L立方体对角线)
正四面体的体积是
正四面体的中心与底面和顶点之间的距离之比为1: 3。
