等腰三角形面积公式

三角形面积公式怎么用？

乍一看，我觉得很无聊。没有公式用什么求三角形面积？但是随着教学的发展，应该用到的面积公式越来越多，学生们就再也想不到用了，于是又回来重新审视这个应用最广泛的面积公式。三角形的面积是底边和高的乘积的一半，应该不简单。

主要应用是给出一个三角形的底和高，并计算三角形的面积。使用的运算是乘法。现在，在操作上有所改进。如果已知面积的底数或高度找到了，就会立刻转化为除法，然后就变了。单纯增加操作量是不划算的。

换一种方式学习，融入观察图形，真是太棒了。以下面两个问题为例。

第一题

如图所示，△ ABC的面积为4cm，AP垂直于△ABC的平分线，垂足为p，则△PBC的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ cm。

分析:

条件元素有△ABC的面积，BP平分∠ABC和AP⊥BP，结论是△PBC的面积；

从△ABC的面积出发，求△PBC的面积，题目的其他条件都与线段的长度无关，也就是说用最初等的面积公式法是不可行的，所以必须找到这两个三角形面积的定量关系，而且由于△PBC在△ABC的内部，并且有相同的边，所以我们猜测它们是倍数，下面将予以证实。

BP是角的平分线，也是AP的垂直线。这两个性质的线重合，很容易让人联想到等腰三角形中的“三线合一”。那么，等腰三角形在哪里呢？不妨在D点把AP延伸到BC，如下图:

我们很容易证明，在△ABP和△DBP中，∠BAD=∠BDA，所以BA=BD，得到等腰△ABD，然后根据三条线的组合，得到点P为AD的中点；

至此，我已经得到了这个问题的答案。BP是△ABD的中心线，CP是△ACD的中心线。两人都能把三角形分成面积相等的两部分，所以S1=S2，S3=S4，这四部分之和是4 cm，所以“取一半”得到S2+S4=2，所以△PBC的面积是2cm；

从本题的思维导图可以看出，重点在于三角形中线的等面积，而这个结论是基于三角形面积公式的“等底等高”结论。因此，学生需要将条件中的“角平分线”和“垂直线”因子与“中线”相关联，而这三个因子都集中在一条线段上。目前只能三条线合为一条，所以辅助线法是将AP延伸构造一个等腰三角形。在实际教学中，八年级学生很难想到这一层。大部分都是抢着构造全等三角形，甚至有些自以为是的同学还试图用所谓的模型。他们说中线是BP的两倍长，误以为△ABC是等腰直角三角形来构造手拉手模型。虽然填空是个问题，但确实让一部分同学背叛了自己。

第二个问题

如图，在△ABC，∠C = 90°，AC=2BC，分别使A、B、C三点为其对边的对称点& # 39；，B& # 39；，C & # 39，如果δa & # 39；B&第39名；C & # 39的面积是48厘米，那么BC的长度是_ _ _ _ _ _ _ _厘米。

分析:

画图很重要，所以要理解“相对两侧的对称点”，即A点和A点& # 39；关于BC对称，点b和点B& # 39；关于AC对称，点C和点C & # 39关于AB对称，如下图:

图中最容易找到的是一对全等三角形，△ABC≔△A & # 39；B&第39名；c、根据全等三角形的性质，它们对应的线段是相等的，所以问题是它们对应的线段除了对应的边之外，还包括对应的中线、对应的平分线和对应的高度。需要哪一对？

因为条件给出了△A & # 39；B&第39名；C & # 39面积，观察这个三角形，线段CC & # 39⊥AB和ab∨a & # 39；B&第39名；这很容易证明，所以CC & # 39⊥a&#39；B&第39名；，如果延伸，就不只是△A & # 39；B&第39名；C & # 39个子高吗？如下图所示:

现在把注意力集中在线段C & # 39e，它由三部分组成，即CE、CD和C & # 39d，由轴对称性质，CD = C & # 39d，由全等三角形性质，CD=CE，所以这三条线段彼此相等，所以C & # 39E=3CE，所以我们可以求出△A & # 39；B&第39名；c的面积是△A & # 39；B&第39名；C & # 39的三分之一，等于16 cm，所以△ABC的面积也是16 cm。然后从三角形面积公式得到1/2BC AC = 16 cm。我们把AC换成2bc，得到BC =16，得到BC=4cm。

从这个问题的思维导图可以看出，AC=2BC其实是一个伏笔，触发方程的关键结论是△ABC的面积还是和上一个问题差不多，面积由面积得出，而△A & # 39；B&第39名；C & # 39和delta a & # 39B&第39名；c有相同的底数，高度有3倍的数量关系，而如果能观察到这种数量关系，那么DC必须推广才能得到整个δA & # 39；B&第39名；C & # 39高度和平行线的关系也要从轴对称推导出来，所以这道题的难点其实是找到条件元素之间的关系。找不到就跟老师说你看不懂题目。

解决问题的思考

同学们刚入门这两道与三角形面积相关的填充空题时，大多有点迷茫，不知道从哪里突破。也就是说，并没有深刻理解轴对称的本质含义，更不用说这两个问题中三角形面积公式的使用了。

让我们回到课堂教学。学生们真的理解三角形面积的计算公式吗？

求三角形的面积，小学生也知道是底乘以高再除以2。如果在教学中总是给出底和高来求面积，那就是机械的重复，达不到深入理解这个公式的目的。到了初中，it的使用更加灵活，底数和身高不一定能直接体现在身材上。有许多缺乏基础或高度的情况。这种结构不良的习题会考验学生的整体构造能力。学生该如何思考？

以三角形面积计算公式为例，首先要从整个中学的角度来看，考察学生在学习三角形、四边形、平移、轴对称、旋转的过程中，从不同角度对公式的理解。其次，在每一个解题过程中，如果没有想到用，一定要在反思中指出来，尤其是在分析学生的解题思路时，说明为什么会这样想，引导学生多问“为什么”。最后，学生在解题过程中，有意识地弥补自己知识体系的漏洞，或通过提示，或通过反思。这个环节缺一不可。

当然，这一切的前提是老师要多研究问题，挖掘问题背后的知识框架，思考如何让学生建立相应的框架。

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