知识源于沉淀 问题1。
确定表达式a+b+c-3abc的所有可能值，其中a、b、c为非负整数。
问题2。
在三角形ABC中，设g为质心，I为内切圆的圆心。设α和β分别是顶点A和B的角度。假设线段IG平行于AB，β = 2tan-1 (1/3)。找到阿尔法。
问题3。
设f是r上的连续实函数，假设f(x，y，z)在S的曲面上的积分对每个半径为1的球面S都等于0。f(x，y，z)一定等于0吗？
答案键
问题1。所有不等于3或6的非负整数(mod 9)。
说明:为了证明这一点，我们先用其他变量(即A、B、C)来表示x，这样做，我们就可以操纵x取不同的值。
我们先证明x可以取所有不能被3整除的非负整数通过为b和c选择不同的值，通过使b和c分别等于0和1，或者使b和c分别等于1和1，我们可以得到x分别等于3A+1或3A+2。通过改变a，我们可以得到所有不能被3整除的非负整数。通过使B和C分别等于1和2，我们得到X等于9A+9。通过改变A，我们可以得到所有能被9整除的正整数。最后，通过使B和C等于0，我们得到X等于0。
为了证明X总是非负的，可以应用算术平均-几何平均不等式或者将BBC+C表示为(BC/2)+3c/4，总是非负的。
为了证明如果x是3的倍数，那么它是9的倍数，我们用模运算。通过观察3A+b+c ≡ b+c (mod 3)和BBC+c≡c(b+c)(mod 3)可以得出，如果x能被3整除，那么b+c一定能被3整除，所以x = (BBC+c) (3a+b+c)是两个因子。这意味着x可以被9整除。
因此，我们证明了X可以取所有不能被3整除的非负整数和所有能被9整除的正整数，且X如果是3的倍数，则它总是非负的，是9的倍数。
问题2。α = π/2
描述:首先我们定义AB的中点和C到AB的高度分别为M和D。我们还定义4ABC的半径为r，我们知道c，g，m共线，CM是GM的三倍长。我们可以用这个事实来求CD的长度，它是半径R长度的三倍，因为C到AB的距离是G到AB距离的三倍。
接下来，我们用正切多角公式求DB的长度。我们发现CD/DB = tan β = 3/4，这意味着DB是半径r长度的4倍。
然后我们考虑内切圆与AB相交的点e。利用点到圆的切线长度公式，我们发现EB = r/tan(β/2) = 3r。由于CD垂直于AB，我们知道E到CD的距离等于R，所以我们发现内切圆与高度CD相切。
由内切圆与CD的切线可知d = a，因此，标高CD过a，ABC为直角三角形。此外，由于D = A，角度α等于角度c的补角，即π/2。
问题3。号码
解释:设g: R → R是任意连续函数，其中g(t +2) = g(t)是所有t的积分，g(t)dt = 0从0到2(例如g(t) = sin (πt))。定义f(x，y，z) = g(z)。我们声称对于任何半径为1的球面S，f的二重积分dS = 0。
为了证明这一点，我们设一个以(x0，y0，z0)为中心的单位球。我们可以用角度φ和θ将S参数化为S (φ，θ) = (x0，y0，z0)+(sinφ cos θ，sinφ sin θ，cos φ)对于φ in [0，π]和θ in [0，2π]。然后，我们可以用变量φ和θ来表示F对S的二重积分，如下所示。
我们这里用的是代换t = cosφ但是这个最终积分对于任何z0传递结构都是0。
什么是 William Lowell Putnam 数学竞赛？
威廉·洛威尔·普特南数学竞赛被很多人称为世界上最难的数学竞赛，是美国和加拿大著名的本科生数学竞赛。它由伊丽莎白·洛威尔·普特南于1927年创立，以纪念她的丈夫威廉·洛威尔·普特南，他是校际问答比赛的倡导者。竞赛由美国数学协会管理，在每年12月的第一个星期六举行。比赛包括两个3小时的比赛，一个在上午，一个在下午。在每堂课中，参与者将独立解决六个具有挑战性的数学问题，这些问题涵盖了一系列本科数学的高级材料，包括来自群论、集合论、图论、格论和数论的概念。每道题得10分，不完整或接近完整的解答得部分分。比赛难度很大:平均分数通常是零或一(满分120)，到2021年只有五个满分。
个人得分最高的选手和表现最好的团队将获得奖学金和现金奖励。个人得分最高的五个人被指定为普特南研究员，获得高达12 000美元的奖学金和哈佛大学普特南研究员奖学金。排名第二的个人将获得250至2500美元不等的现金奖励。前100名个人评分者的姓名将在《美国数学月刊》上公布(按字母顺序排列)，前500名参赛者的姓名和地址将邮寄给所有参赛机构。顶尖团队的数学系将获得5，000至25，000美元的现金奖励。一个队的得分是其三名队员得分的总和。
比赛旨在激发大学生对数学的兴趣，表彰他们在数学方面的天赋和成就。它还为学生提供了挑战自我和与其他对数学有同样热情的学生互动的机会。该竞赛已发展成为世界领先的大学级数学考试，每年吸引成千上万的参赛者。
