在平面直角坐标系中xoy中

用相似求解最大值——2022年福建中考数学第25题

在二次函数的压轴题中，最大值问题很常见，如线段最大值、面积最大值、比值最大值、角度最大值、坐标最大值等。方法很多，模式更多。通常的思路是引入参数，用二次函数描述值的变化过程，利用二次函数的图像性质解决问题，这是一种纯解析的方法；但从几何角度来看，也有与最大值相关的定理。两者的结合使我们在解决此类问题时不拘泥于某一个视角，而是根据主体条件的描述选择一条合适的路径。

科目

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线Y = AX+BX经过两点A(4，0)和B(1，4)，P是抛物线上直线AB上方的一点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)如果△OAB的面积是△PAB的两倍，求P点的坐标；

(3)如图所示，OP与AB在C点、PD∑BO在D点相交的△CDP、△CPB和△CBO的面积分别为S1、S2和S3，从而判断是否存在S1:S2+S2:S3的最大值。如果有，求最大值；如果不存在，请说明原因。

分析:

(1)分别代入A点和B点的坐标，求出a=-4/3，b=16/3，所以Y =-4/3x+16/3x；

(2)δOAB面积可查为8，δ△PAB面积为4。下面我们来展示一下它的面积，如下图:

交点P为X轴的垂直线，交点AB为点Q，设P (t，-4/3t+16/3t)。

我们先求出直线△PAB的解析式，即y=-4/3x+16/3，然后写出点Q的坐标为(t，-4/3t+16/3)，所以PQ =-4/3t+20/3t-16/3，然后我们可以把△BPQ和△APQ的面积相加得到如下。

(3)从条件PD∨BO出发，我们明显得到一对相似的三角形，如下所示:

△PDC∽△OBC，DC:BC=PC:OC=PD:OB，而△CDP和△CPB高度相等，△CPB和△CBO高度相等，所以它们的面积比等于它们的底比，正好S1:S2=DC:BC，S2:S3=PC:OC，所以面积比换算成边长。

我们发现S1:S2=S2:S3，那么我们只需要找到其中一个比值，而这个比值等于PD:OB，这就很有意思了，因为OB是一个固定值，所以PD:OB的最大值取决于PD的最大值，现在问题就归结到PD最大的时候；

为了更容易理解，我们从P点到AB做一条垂直线PE，如下图所示:

请关注Rt△PDE。因为PD∥BO，∠PDE=∠ABO，这个角度大小是固定的，所以sin∠PDE是固定的，也就是PE:PD也是固定的。当PE最大时，PD一定最大。至此，问题转化为抛物线上的点P和直线AB的最大值。我们采用翻译法。

我们取点P为AB的平行线，AB与抛物线只有一个公共点P，且AB的解析式已得到为y=-4/3x+16/3，故过点P的直线可设为y=-4/3x+b，与抛物线联立方程为-4/3x+16/3 =-4/3x+16/3x，其中

对了，OP的解析表达式是y=2x，C点的坐标是(8/5，16/5)。现在让我们找出PC:OC的比率，如下所示:

分别经过P点和C点，作为垂直线PN和CM，可以得到PC:OC=MN:OM=9:16，即S1:S2=S2:S3=9:16，所以S1:S2+S2:S3=9/8。

解决问题的思考:

当我第一次看到最后一个小问题的时候，我真的很惊讶。面积比之和的最大值非常吓人。但在用平行线得到相似三角形后，面积比瞬间转化为线比，其中同底同高的三角形有贡献。转换后，需要知道最大值是如何形成的。这就需要我们深入研究这些比例公式中的线段，从变化中寻找不变量，这是基本思路，所以我们最终选择了PD:OB，而是比值的最大值。

逐步转换后，看似难，实质上却成了常见的题型。抛物线上动点与线段的距离最大。这一系列转变的每一步都是朝着问题的本质，也就是追根溯源。

同学们在解这道题的时候，有一个误区需要警惕，就是过于强调解析法，试图用线段PD来表示，然后用二次函数的顶点，计算量会很大，也不一定能成功。这时候数形结合的思想就很重要了，这也是我们在平时教学中要注意向学生渗透的数学思想。

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