已知抛物线

说到数学学习，就不得不提到动点题，动点题因为综合性强，灵活性高，解题灵活，一般比较难。受到命题老师的青睐，成为考试热门话题。

动点问题是指一个图中存在一个或多个动点，它们在某一线段、射线或圆弧上运动，从而引起另一个图的变化。从运动变化的角度研究、探索和发现图形的性质和变化，在解题过程中渗透空的概念和合理推理，是一个开放性的课题。

通过设置这种题型，可以很好的考察考生的观察能力和创新能力。预计这类题型仍将是中考数学的热点。解决这类问题的关键是在动中求静。在变化中寻找不变的本质是解决数学中“动点”探究问题的基本思路，也是动态几何数学中最核心的数学本质。

通过对近年来动点相关试题的分析研究，发现有三个明显的特点。

一个是特殊位置点的不动点问题:

这类问题中的动点往往与某些不动点形成特殊的位置关系。我们可以利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点间最短线段”或“最短垂直线段”等知识来解题。

二是几何图形中移动点的问题:

由动点引起的某一线段的长度变化(自变量)，另一线段或某一图形的面积用题目中提供的其他条件来表示，从而构造它们之间的函数关系，再根据函数性质来解题。

三是函数图像中的动点问题:

移动点在函数图像上。当点移动到一个特殊的位置时，一条线段的长度或一个图形的面积达到最大，或者它与一些点形成一个特殊的图形。解题利用函数图像上点坐标的对应关系，用动点坐标表示所需图形的数量特征(如线段的长度或图形的面积)，再用函数性质或方程求解。

动点相关典型例题分析，讲解1:

已知如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(0，24)，过原点的直线l1和过A点的直线l2相交于B点，B点的坐标为(18，6)。

(1)求直线l1和l2的表达式；

(2)点C是线段OB上的一个动点(点C与点O、B不重合)，CD∑Y轴的交线l2在点D，交点C、D分别垂直于Y轴，垂足分别为f、e，从而得到一个矩形CDEF。

①设C点的纵坐标为a，求D点的坐标(用一个含a的代数表达式表示)；

②如果直角CDEF的面积是60，请直接写出C点的坐标。

测试中心分析:

一阶函数综合问题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，一元二次方程的求解。

词干分析:

(1)设直线l1的表达式为y=k1x，通过(18，6)可以得到k1的值，从而得到其解析表达式；设直线l2的表达式为y=k2+b，因为它经过点A (0，24)和B (18，6)，所以代入这两点的坐标就可以得到k2和B的值，就可以得到它的解析表达式。

(2)①由于C点在直线l1上，C点的纵坐标为A，将y=a代入直线l1的表达式，就可以得到X的值，从而可以得到C点的坐标；因为CD∑y轴，D点的横坐标是3a，那么根据D点在直线l2上的事实就可以得到D点的纵坐标，从而得出结论。

②首先根据C和D的坐标，用A表示CF和CD的值，从60°的矩形的面积可以得到A的值，从而得到C点的坐标。

动点相关典型例题分析，讲解2:

已知抛物线y = ax-2ax+c与Y轴相交于C点，与X轴相交于A点和b点，A点坐标为(-1，0)，O为坐标原点，| oc | = 3 | OA |。

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)直接写出直线BC的函数表达式；

(3)如图1所示，D是Y轴负半轴上的一点，OD=2。以外径为边，做一个正方形的ODEF。以每秒1个单位的速度沿X轴的正方向移动方形ODEF。运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为S，运动时间为t秒(0 < t ≤ 2)。

发现:①s与t的函数关系；

②运动时S有最大值吗？如果存在，直接写这个最大值；如果不存在，请说明原因。

(4)如图2所示，点P(1，k)在直线BC上，点M在X轴上，点N在抛物线上。有顶点为A，M，N，P的平行四边形吗？如果存在，请直接写下m点的坐标；如果不存在，请说明原因。

测试中心分析:

二次函数综合问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定。

词干分析:

(1)求C点的坐标，即根据a和C的坐标，用待定系数法求抛物线的函数表达式..

(2)求B点的坐标(3，0)，即用待定系数法求BC线的函数表达式。

(3) (1)将讨论分为0 < t ≤ 1和1 < t ≤ 2。

(4)从直线BC上的点P(1，k)可得k =-2。∴P(1,-2)。

然后过点p且平行于x轴的直线N1N2与x轴上方距离为2且y = x-2x-3的直线N3N4的交点N1、N2、N3、N4。

动点相关典型例题分析，讲解3:

如图，已知抛物线Y = AX+BX+3经过B (-1，0)点和C (3，0)点与Y轴相交于A点，线段OB绕O点顺时针旋转90°，B点对应的点为M点，经过A点的直线与X轴相交于D点(4，0)。直角梯形EFGH的顶部和底部EF与线段CD重合。直角梯形EFGH从D点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1长度单位/秒。运动过程中腰部FG和直线AD始终重合，运动时间设为t秒。

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)当t为什么值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；

(3)设A点为关于抛物线对称轴的对称点A’，直线HG与对称轴相交于K点，当t为什么值时，顶点为A，A’，G，K的四边形为平行四边形。请直接写出合格的t值。

测试中心分析:

二次函数综合问题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角梯形的性质，平移的性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形，矩形，菱形的判定。

词干分析:

(1)用待定系数法将B (-1，0)和C(3，0)代入Y = AX+BX+3，即可得到抛物线的解析式。

(2)当直角梯形EFGH移动到e′f′g′h′时，交点f′定义为f′n⊥x轴在n点，e′h′的相交轴延伸到点p..根据相似三角形的判断和性质，OP和H’P可以用t来表示，可以分两种情况讨论:平行四边形E’H’ OM是长方形和菱形。

点的运动变化过程中与图形有关的一些量(如角度、线段、周长、面积及相关关系)或它们之间的函数关系的变化。

解题策略:对于图形体育试题，要注意从运动变化的角度观察和研究图形，把握图形运动变化的全过程，把握等量与变量的关系，特别注意一些不可改变的量、不可改变的关系或特殊关系，善于化动态为静态，从特殊情况(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐渐过渡。)到一般情况，综合运用各种相关知识和数形结合。

当一个问题是确定与图形相关的变量之间的关系时，通常会建立一个函数模型或不等式模型来求解；在确定图形之间的特殊位置关系或某些特殊值时，通常会建立方程模型来求解。