知识源于沉淀 徐涤非(上海西南余伟中学)
摘要:这节课是圆锥曲线和椭圆概念的开始。教师通过精心设计，自然、有趣、有效地将圆锥曲线史融入课堂，形成了数学史的“教学形式”；同时，遵循历史发展顺序和知识生成顺序，从纯几何角度探索椭圆的本质特征，从多个角度构建椭圆的概念。在精心准备和自制教具的帮助下，成功克服了许多不利因素，取得了良好的教学效果。
关键词:圆锥曲线初类；椭圆的概念；数学史
教学内容分析
1.指定主题描述
题目:圆锥曲线的初始过程。
班级类型:概念班。
说明:体现了数学史融入数学教学的思想。借助信息技术和物理模型，通过丰富的例题让学生了解圆锥曲线的背景和应用。通过从具体情况中抽象出椭圆的本质特征的过程，建立了椭圆的概念和标准方程。
《上海市中小学数学课程标准》要求用生活中的例子引入椭圆的概念，然后抽象为动点的轨迹。根据椭圆的定义，建立了椭圆的标准方程，并着重讨论了聚焦于X轴的标准方程。
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国家高中数学课程标准要求:了解圆锥曲线的实际背景；了解圆锥曲线在描绘现实世界和实际问题中的作用和应用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；体验数形结合的思想；掌握椭圆的定义和标准方程。
根据指定科目的要求，并参照上海市中小学数学课程标准、国家高中数学课程标准和上海市二期课改教材，本课教学内容主要设置为了解圆锥曲线的历史、背景和应用，从生活实例或具体情况中形成椭圆(及焦点和焦距)的概念，建立椭圆的标准方程。
上海二期课改教材中，椭圆的第一课不是“圆锥曲线的初始课”，而是“椭圆的标准方程”。本文从椭圆的制作过程中总结了椭圆的定义，重点介绍了椭圆的标准方程。由于在布置的项目描述中对椭圆概念的形成过程和数学史的融入有更具体的要求，比上海教材更符合圆锥曲线的历史发展顺序和学生的认知顺序，更有利于学生掌握椭圆的概念。因此，考虑对上海教材第一节课“椭圆的标准方程”的教学内容稍作调整，把重点放在Y轴的标准方程和椭圆的标准方程的简单应用移到后一节课。
学生学业状况分析
这个班是借班授课，授课班级是浦东杨静中学高二12班。据了解，该校是市示范性高中，这个教学班是高二四个物理班之一。但由于借课，和学生的交流只有不到半个小时，班里学生的具体情况还很模糊。要做好学生水平下限的准备，在困难的地方多预设一些铺垫备用。
另外，受主办学校教学进度的限制，教学班没有学习直线和圆的方程，只学习了曲线方程的概念和解法(只有一个课时)。由此判断，学生虽然有推导椭圆标准方程的基础，但接触解析几何的时间不多，找曲线方程的经验也不多。因此，在教学中，一方面可以有意将解析几何的核心思想渗透到数学史中，让学生同时了解本章的研究内容及其研究方法；另一方面，在建立椭圆标准方程之前，适当复习一下求解曲线方程的一般步骤，为学生搭建一些推导的平台，避免因为推导过程冗长枯燥而影响学生的学习兴趣。
2.教学重点:掌握椭圆的概念。
3.教学难点:从具体情境中抽象出椭圆的本质特征。
教学策略分析
1.数学史的呈现
圆锥曲线的历史发展蕴含着丰富的数学文化。圆锥曲线的历史背景和实际应用除了概念、性质、标准方程等显性数学文化外，还包含着数学思想(化归思想和数形结合)、数学方法(研究几何问题的代数方法和构造方法)、信仰品质(探索真理和理性分析)、价值判断和审美追求(圆锥曲线的实际应用)等丰富的隐性数学文化。显性数学文化(椭圆的概念)是本课的重点，必须落实。但同时，课堂也需要隐性数学文化的渗透才能充满活力。
教师要根据学生的知识基础，选取圆锥曲线发展史中学生能理解且有一定教学价值的部分按历史顺序进行重组，对于对学生理解有负面影响的作品进行合理改编(如关于椭圆起源的猜想很多，只选取“削尖的木桩”作为椭圆的起源介绍给学生)， 并对太难的内容进行调整或铺垫(比如选择圆柱背景的“蒲公英球体”发现椭圆的性质，而不是选择圆锥背景的“蒲公英球体”或古希腊的纯几何证明)，将这些丰富的数学文化以符合学生认知基础和规律的教学形式呈现给学生。 详情见表1。
表1
2.椭圆概念的形成
几何图形来源于生活，都是从具体事物中抽象出来的，椭圆也不例外。历史上椭圆最早是从图形的角度定义的(椭圆是由一个平面和一个圆柱或圆锥的交线定义的)，而教科书上的定义是解析几何诞生后，人们为了便于用代数方程研究圆锥曲线，从数量关系的角度重新定义了椭圆。
虽然它们是等价的，但在形式上却相去甚远。因此，在建立椭圆概念时，如果直接把椭圆的定义以数量关系的形式抛出去，或者用其他方式抽象出来(比如用椭圆规或圆心来“分离”定义)，这样的概念形成过程虽然容易教，但不符合椭圆概念形成和发展的自然顺序。学生们会说:“为什么要这样定义椭圆？”\”这样定义的椭圆和我们生活中熟悉的椭圆一样吗？\”\”为什么椭圆也被称为圆锥曲线？\”等提问。
如果后面老师解释两者的联系，虽然看似弥补了不足，但不妨按照之前椭圆概念的历史发展顺序呈现给学生。
既然形成概念的最佳方式是按照历史发展的顺序来呈现，那么我们就可以通过分析几何发展的历史，自然地引出椭圆方程的建立，设置悬念来引发对椭圆上任意一点所满足的数量关系的探索。之后，学生需要分别经历两个探索过程:(1)发现椭圆的本质特征(从纯几何的角度研究椭圆的性质，即椭圆上任意点到两个定点的距离之和为常数)；(2)从数量关系的角度重新定义椭圆。
在第一次探索中，教师需要创设适合学生抽象椭圆本质特征的情境作为教学载体。古希腊人阿波罗尼奥斯是历史上第一个得到椭圆这一性质的人，但其证明过程非常复杂，显然不适合作为教学载体。历史上最简单的证明是比利时数学家丹德林的“丹德林双球面构造法”。但考虑到学生没有学过立体几何，圆柱背景和圆锥背景在图形和推理方法上有相似之处，决定以简化“丹德林球法”的圆锥背景为载体，辅以教具和详细铺垫，方便学生发现椭圆的这一性质。在此基础上，留下圆锥背景，让学生课后思考。
第二次探索，学生必须从椭圆的性质出发，通过完善其逆命题，从数量关系的角度得到椭圆的定义。在这个过程中，教师创设一个学生手工制作椭圆的活动情境，让学生直观地体验和思考一个点到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹是否为椭圆。在老师简单建议使用椭圆规后，学生们体验了画椭圆的过程，思考了老师的问题，从中总结出“在平面内”和“常数大于焦距”的补充条件。这一活动不仅巩固了椭圆的本质特征，也为学生将自然界的逆命题(加条件)改进修改为一个定义提供了更直观的体验。在培养学生探索真理、理性分析的信念品质的同时，还能培养学生的团结协作和动手操作能力，激发学生的学习兴趣。
3.椭圆标准方程的建立
由于题目的变化(上海二期课改的题目是椭圆的标准方程，这节课的题目是圆锥曲线的开始)，椭圆的标准方程不是这节课的重点，只是章节后续研究的开始。
在这一指导思想下，建立椭圆标准方程的意义在于:(1)为后续的性质研究做一些必要的基础工作；(2)学生进一步巩固解曲线方程的方法，练习解析几何中“用代数方法研究几何问题”的思维方法。
基于以上考虑，建立椭圆标准方程的过程不需要组织学生过度探究。建立部门和设置点的过程可以由老师直接约定，最后改变元素的过程也是老师直接给的，这样才不会冲淡这节课的重点。但让学生亲身体验椭圆标准方程的计算过程是必不可少的，这对于培养学生的实践探索的科学精神还是很重要的。
另外，经过查阅资料，反复推敲，决定采用上海二期课改的“二次整平法”建立椭圆标准方程，主要是考虑到学生的知识基础。历史上还有其他建立椭圆标准方程的方法，如参数消去法、变换法等。但由于学生刚刚学习了曲线方程的概念和求解曲线方程的方法，参数消去法对学生来说显然太难了；另外，学生没有学过圆的标准方程和坐标变换，没有从圆的标准方程入手，采用坐标变换的知识基础。
教学过程
1.新课程介绍
(1)播放视频。
播放编辑好的嫦娥一号探月概况，展示嫦娥一号美丽的椭圆轨道，引入话题。
嫦娥一号的成功发射拉开了中国探月工程的序幕，也终于将中国人千百年来的神话传说变成了现实。告诉你一个好消息，就在前天，探月工程三期探路者“肖飞”(返回式飞行试验器)经过8天飞行成功返回，这标志着中国航天技术取得新突破。
嫦娥一号在星空(如图1)画了一条漂亮的曲线。你知道这条曲线的名字吗？
(2)提出问题。
这颗卫星的轨道是椭圆形的。生活中还有哪些东西是省略号？
你认为椭圆是立体图形还是平面图形？
既然是平面图形，这些是椭圆吗？
操场上的跑道线是一个平面图形。是椭圆吗(如图二)？
那么，数学意义上的椭圆到底是什么？椭圆的性质是什么？椭圆有哪些应用？就从这几个问题开始今天的新课吧——圆锥曲线的初始课(椭圆的概念)。
【设计意图】通过启发性的音乐和视频片段，了解圆锥曲线的空间应用，引入新课。通过否定学生头脑中对省略号的常见误解，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣和好奇心，引出本节课的学习内容。
2.椭圆的起源和发展
每一个几何图形都源于生活，都是从具体事物中抽象出来的，椭圆也不例外。那么人们最早是从哪些具体的东西上发现椭圆曲线的呢？
让我们回到公元前四世纪的古希腊。相传是古希腊人首先通过削尖的圆木桩发现了一条看起来像圆但不是圆的曲线，并将其命名为椭圆。从立体几何的角度来看，也是“平面斜对圆柱体时得到的交线”(如图3)。
后来发现平面斜截锥得到的交线也可能是椭圆。不仅如此，通过调整平面的倾斜度还可以得到其他曲线，所以人们将这些曲线命名为圆锥曲线。这就是为什么椭圆是圆锥曲线中的一种曲线。
后来发现研究这些曲线的性质也有助于解决三大数学难题之一的“三次问题”(图4)。
于是，古希腊很多数学家开始研究这类曲线，包括欧几里德(如图5)，但很多都失传了。到目前为止，复原最完整的是阿波罗尼斯的《圆锥曲线》一书(如图6)，他在总结前人成果的基础上，加入了自己的想法。他从“平面截锥”出发，用纯几何的方法证明了近500个命题，这在当时是一个奇迹，甚至在后来的2000年里，无人能超越。所以阿波罗尼斯的《圆锥曲线》一直被认为是数学的经典之作，与欧几里得的《原本》并驾齐驱。
直到17世纪，世界发生了翻天覆地的变化。在欧洲，随着航海、天文、军事、经济等领域的飞速发展，古希腊人的纯几何方法已经不能满足社会生产力的需要，人们迫切需要一种更高效的研究方法。就这样，两个伟人诞生了。他们是法国数学家笛卡尔(如图7)和费马(如图8)，他们是解析几何的创始人。解析几何借助坐标系建立代数和几何的关系，用代数的方法研究几何图形的性质。比如点与坐标一一对应，曲线与代数方程一一对应，曲线的性质是通过研究代数方程得到的。解析几何在两个看似不相关的学科之间建立了联系，可以说是数学史上最伟大的突破。
这时，人们开始思考，可以用解析几何的方法研究这些圆锥曲线吗？
我们学过曲线和方程，知道解曲线方程的步骤是:建系、设点、公式化、化简。其中，公式的步骤需要根据曲线上的点所满足的条件列出方程。例如，圆上任意一点到固定点(圆心)的距离等于一个常数(半径)。通过这个定量关系，很容易列出圆上动点所满足的方程。但是，椭圆上的点满足什么条件呢？能否用数量关系表示椭圆上点的运动规律？
【设计意图】通过介绍圆锥曲线的历史，让学生了解圆锥曲线的原始定义和历史成就，进一步感受几何图形来源于生活的特点，领略古希腊数学家的信仰和智慧。通过对解析几何的简要介绍，让学生了解解析几何诞生的历史必然性、核心思想及其在数学中的地位和作用，从数量关系的角度理解定义椭圆的背景和学科发展的背景，制造悬念引出对椭圆性质的探索。
3.椭圆性质的探索
为了研究椭圆的性质，人们重读了阿波罗尼斯的圆锥曲线。发现书中近500个命题中，确实有一个性质通过数量关系非常简洁地揭示了椭圆上的点的运动规律。这个谜的本质是什么？现在，让我们一起来发现这个属性。
为了探究这个性质，我们需要从立体图形学习平面图形，但是我们还没有学过立体几何，所以老师需要给你一个小测试，测试你的空想象力！
【设计意图】通过圆柱背景下的“蒲公英球”探索发现椭圆的本质特征，是本课的难点。
因为学生没有学过立体几何，直接概括椭圆的性质是非常困难的。因此，第一组试题自然会对椭圆性质的发现起到引导和铺垫作用，而一些在空之间缺乏想象力的学生，可以通过自制教具的展示，更好地理解这一过程，让学生成功地从问题情境中总结出椭圆的性质(本质特征)，为从数量关系的角度重新定义椭圆做准备。
另外，在这个过程中，前后题的紧密联系可以让学生进一步理解化归的思想，后续的复习和介绍也可以让学生了解椭圆发展史上的经典证明，体验巧妙的数学方法，即构造法。
需要注意的是，在铺垫题中，为了方便学生理解，问题的措辞有一些不严谨的成分，学生的回答只需要依靠空的想象来做出判断，而不是严格的推理。
5.椭圆的重新定义
我们得到了椭圆的性质，知道了椭圆上任意一点所满足的定量关系。但是为了求解椭圆的方程，我们还需要知道满足这个定量关系的点的轨迹是否是椭圆。这个性质可以修改或改进成椭圆的定义吗？
接下来我们通过画椭圆的活动来体验一下满足这个性质的点的轨迹是不是椭圆。
活动:做一个椭圆。
根据椭圆的性质，研究了椭圆规的使用，同桌两个人一起做一个椭圆。
思考:做一个椭圆，弦的长度(距离之和)和两个触点之间的距离(焦距)有什么关系？
教师提示:
(1)椭圆的性质包含两个不动点。你能在椭圆规上找到这两个固定点吗？
(2)在椭圆的性质中，距离之和等于一个常数。我们能在椭圆规中找到距离和的常数吗？
同桌一个同学负责保持定点位置不变，另一个同学负责用一根线保持笔尖到两个定点的距离之和不变来画椭圆。在画画的过程中，可能会遇到一些阻碍，同桌要一起想办法摆脱。我们来比较一下哪一组同学做得好，答得好。
补充问题:
【设计意图】通过创建椭圆的活动，巩固椭圆的本质特征，为学生将性质的逆命题(添加条件)改进或修改成定义提供更直观的体验，为椭圆标准方程的推导做准备。同时，进一步培养学生探索真理和理性分析的信念，团结协作和动手操作的能力，激发学生的学习兴趣。
通过对椭圆发展史上最后一个关键历史事件的介绍，让学生对圆锥曲线发展的整个历史以及本章的后续研究内容和方法有一个初步的印象。
6.椭圆的标准方程
接下来我们自己练习一下，推导出椭圆的曲线方程。
【设计意图】通过学生建立椭圆标准方程的亲身经历，实践解析几何中用代数方法研究几何问题的思维方法，巩固椭圆的定义和求曲线方程的方法，培养学生实践探索的科学精神，为后续课程中椭圆性质的学习做必要的基础工作。
课程总结
至此，我们有了学习椭圆的基础，但是今天的课就要结束了。让我们做一个课堂总结。
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(1)椭圆和圆锥曲线:我们已经知道，平面斜截锥的交线可能是椭圆，也可能是其他曲线。本章继续学习其他圆锥曲线，分别是圆、双曲线、抛物线(如图18)；
【设计意图】通过复习古希腊对椭圆的定义，引入其他圆锥曲线，简要介绍本章的后续学习，激发学生的学习兴趣和动力。通过介绍椭圆在生活中的应用，引入视频前后呼应，激发学生学习科学知识的热情和动力。
工作安排
1.老师布置的其他作业；
思考:
(1)椭圆标准方程中b的几何意义是什么？
(2)对称中心在原点，焦点在Y轴的椭圆标准方程是什么？
(3)如果是“平面截锥”得到的椭圆，能否用“蒲公英球”的方法解释椭圆上任意点到两个定点的距离之和为常数？
【设计意图】通过与本节课相关的三个扩展问题，为学生创造一个课后自主探索的平台，使部分学生对椭圆的概念和标准方程的相关知识有更全面深入的了解，也为后续课程中通过标准方程学习椭圆的性质做铺垫。
教学反思
经过教学实践，该班得到了良好的反馈。学生们上课非常专心。课后，他们表示很高兴在书本之外获得了很多关于圆锥曲线数学史的知识，尤其是课本上椭圆定义的由来。虽然学生们还没有学过立体几何，但在多媒体和教具的帮助下，他们表示理解“蒲公英球体”模型并不难。老师还说，在目前的教材环境下，这样的设计可能是椭圆概念形成过程中最流畅的呈现逻辑顺序的方式。
但由于上海教材的内容安排和学生的学习情况，这节课未能探究圆锥背景下椭圆的本质，老师的引导过于细致，压缩了学生的思维空，还是有些遗憾的。
参考资料:
[1]周友良。椭圆首次定义的教学[J].中学数学教学参考，1999(09)，6-7。
[2]郝茹。金濠曲。椭圆第二定义的教学[J].中学数学教学参考，1999，(09)，7-9。
[3]王国强。教完椭圆的两个定义[J]。中学数学教学参考，2000，(03)，62。
[4]鲁·。不断探索水到渠成:《椭圆定义及其标准方程》课堂教学实录[J]。中学数学教学参考，2003，(11)，17-20。
[5]吴鄂.让数学课更生动:椭圆定义的教学设计[J].中学数学月刊，2004，(12)，14-15。
教科书版本:
(沪教版)高中课本数学高二第二学期(实验版)
第十二章圆锥曲线
12.3椭圆的标准方程
上海教育出版社
2008年1月，第二版
2011年11月第六次印刷
IN 978-7-5320-9395-3/G 9299
