知识源于沉淀 上学期，第一个难点出现在绝对值部分。我们在上一篇文章中介绍了绝对值相关的计算，本文继续介绍绝对值相关的内容。绝对值和数轴、倒数、距离很难结合。
绝对值表示一个数在数轴上的对应点到原点的距离，相反数是指绝对值相同，符号相反的两个数之间的关系。相反数是两个数之间的关系。可以说A是-a的相反数或者说A和-a是相反数，但不能直接说A是相反数。数轴上的倒数的特点是:在原点的两侧，到原点的距离相等。
我们主要需要理解“距离”。什么是“距离”？如何求数轴上两点之间的「距离」？这是一个重要的知识点。
数轴上代表-2和-5的两点之间的距离等于(-2)-(5)= 3；数轴上代表1和-3的两点之间的距离等于1-(-3)= 4；一般来说，数轴上两点之间的距离等于右点对应的数减去左点对应的数。有些题目可能不知道具体的数字，也就是我们不知道哪个点在左边，哪个点在右边，所以为了方便记忆，我们可以统一一下“距离”。一般来说，如果数轴上A点和B点所代表的有理数分别为A和B，那么A点和B点之间的距离表示为|a-b|，记为AB=|a-b|。例如|3-1|表示数轴上对应数字3和1的两点之间的距离；再比如|3+1|=|3-(-1)|，那么|3+1|代表数轴上数字3和-1对应的两点之间的距离。
只有充分理解“距离”的定义和计算“距离”的公式，才能更好地解决问题。
例1:我们知道有理数与数轴上的点存在对应关系，揭示了数与点的内在联系，是数形结合的基础。
(1)数轴上，两点-2和4之间的距离为；
(2)在纸上画一个数轴，分别用以下方法折叠纸；
(1)如果-2和4表示的两点重合，则2表示的点与数字表示的点重合；
(2)如果-5和3表示的两点重合，则-3表示的点与数字表示的点重合；此时，如果A点和B点的距离为2012，折叠后A点和B点重叠，则A点代表的数字为。
解析:求两点间距离的第一个问题，可以用距离公式求解，即用左点对应的数字-2减去右点对应的数字4，就可以求出两点间的距离。
这个问题的难点在于第二个问题，需要用数轴和倒数的概念来解决。折叠后，代表-2和4的两点重合，说明新数轴的“原点”是1，代表2的点在1的右侧，距离2一个单位；那么与之重合的点就应该给在“原点”的右边，离“原点”的距离也是一个单位。最后一个问题和问题的思维过程差不多。
变式1:如果x代表有理数，那么|x-1|+|x+3|有最小值吗？如果是，请求最小值；如果没有，请说明原因。
解析:根据“距离”的定义，|x-1|表示x到1的距离，|x+3|可以转化为|x-(-3)|，表示x到-3的距离。那么|x-1|+|x+3|就是数轴上一点到两点的距离。然后根据“两点间最短线段”可以得出一个结论，最小值是1-(-3)=4。
我们也可以分三种情况来讨论这个问题。当x 1时，X点到-3的距离已经大于4，所以最短距离等于4。
变式2:若A点所代表的数为-1，B点与A点的距离为10，B点在A点的右侧，移动P点和Q点同时从A点和B点出发，向数轴正方向移动。点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒0.5个单位长度。运动多少秒后，Q点和P点能相隔1个单位吗？
解析:A点代表的数字是-1，AB之间的距离是10。如果B点在A点的右边，那么B点代表的数是9；如果B点在A点的左边，那么B点代表的数字就是-11。根据题意，B点是9。动点P和Q同时从A和B出发，沿数轴正方向运动。P点的速度比Q点快，所以这个问题应该是一个描摹问题。经过几秒钟的运动，两点之间的距离是1个单位长度，这要分两种情况来讨论，要么是相遇前，要么是相遇后。
方法一:考虑追踪问题，两点之间的距离为10-1(相遇前相隔一个单位)或10+1(相遇后相隔一个单位)，距离为速度乘以时间的差；
方法二:由数轴上的距离公式考虑，P点移动x秒后所代表的点为-1+3x；点Q运动X秒后代表的点是9+0.5x，两点之间的距离是1。根据距离公式可以得到如下:|-1+3x |-| 9+0.5x | = 1。或者分两种情况，P点在Q点右侧，P点在Q点左侧，分别用距离公式求解。
