对于任何圆,其面积s等于圆周率π和半径平方r 2的乘积。换句话说,任何圆的面积与其半径的平方之比都是同一个常数——π。那么,这个结论是经过数学严格证明的,还是一种数学直觉?
其实圆面积公式(S =πr ^ 2)在数学上是可以严格证明的,中国古代和古希腊的数学家都已经证明了。圆面积公式的证明方法很多。这里有几个简单的例子。
(1)极限法一
如果一个圆被分成n等份,那么它被拼接成如下四边形:
当n趋近于无穷大,也就是把圆分成无限等份,那么四边形就会变成矩形。很明显,这个矩形的长度是半圆的周长(πr),宽度是圆的半径(r),这个矩形的面积等于圆的面积,那么圆的面积的公式可以得到如下:S=πr?r=πr^2。
但要完成这个证明,首先需要证明周长公式(C=2πr)。通过相似三角形原理,用几何方法很容易证明圆的周长与直径之比相等,这个常数叫圆周率。
(2)极限法二
将圆分成n等份,并连接每个扇形中半径与圆的交点。假设每个扇区的圆心角为2θ,则2θ = 2π/n。
看其中一个三角形OAB,根据三角函数,OC=rcosθ,AB=2rsinθ,三角形OAB的面积为:
S△OAB=1/2 AB OC=r^2sinθcosθ
当n趋于无穷大时,圆的面积可以表示为:
S=lim(n→+∞)n S△OAB
根据极限原理,可以计算出S =πr ^ 2。
(3)积分法一
严格来说,这也是一种极限方法,但这里圆的面积是严格按照圆的方程(x ^ 2+y ^ 2 = r ^ 2)计算的:
(4)积分法二
如果把圆分成无数个厚度为dr的细环,那么每个环的面积就是2 π r Dr,对其积分,我们可以得到:
总之,圆的面积与半径的平方之比是π,这是经过严格数学证明的,不是经验公式。