知识源于沉淀 [标题演示]
如图1所示，Rt△ABC中∠A = 90°，AB=AC，点D和E分别在AB和AC边上，AD=AE与DC相连，点M、P、N分别为d E、DC和BC的中点。
(1)观察猜想
在图1中，线段PM和PN之间的定量关系是什么？是什么位置关系？
(2)探索和证明
绕A点逆时针旋转△ADE到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明原因；
(3)扩展和延伸
围绕平面上的点A自由旋转△ADE。如果AD=4，AB=10，请直接写出△PMN的最大面积。
初中的最大值问题可以分为两类:代数最大值和几何最大值。代数最大值通常用函数、代数不等式和根的判别式的知识求解。几何极小值通常通过两点间最短线段、三角形的三边关系、点到直线的距离、最短垂直线段、点到圆的极小值特征等知识求解。那我们来分析一下这个问题，看看怎么解决。
【思路分析】
第一个问题和第二个问题很简单，不需要太多技巧。利用三角形的中线定理和角的代换，很容易证明PM=PN，PM⊥PN，即△PMN是等腰直角三角形，重点在第三题。如何求△PMN面积的最大值？
这时候就需要开动脑筋，充分发挥你的想象力。大脑以△ADE围绕A点自由旋转。你能想象一个数字吗？我们知道等腰直角三角形PMN的面积为:S△PMN = 1/2pm = 1/2 (1/2ce) = 1/8 (ce)。为了最大化S △ PMN，只需要最大化CE。这时候就要考察△ACE，根据三角形三边关系，CE≤AE × AC，说明最大CE等于AE+AC。
EC最大值为AE+AC=AD ten AB=4+10=14，∴S△PMN最大值为1/
8×CE =1/8×14 =49/2。
也可以这么考虑，如图。
连接AM，AN，支一AM=1/2DE=√2/2×AD=√2/2×4=2√2，AN=√2/2×AB=√2/2×10=5√2。由于S△PMN = 1/4mn，∴.
此时，我们应该反思，在什么情况下应该用三角三边关系来求最大值？结合上面的例子，我们发现:①三角形包含所需边，②三角形的另外两条边是固定边，③另外两条边必须计算。
【答案及分析】
(1)∫m，p，n为DE，DC，BC的中点，∴PM∥CE，PM=1/2CE，pn∨BD，PN=1/2BD，且ab = ac，AD=AE，∫
(2)△PMN是等腰直角三角形，原因如下:∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴.∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD X ∠ABD，∠ ∴△PMN = ∠ PNC+\
(3)△PMN面积的最大值为49/2。
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