三角形的内角和

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——谷歌联合创始人拉里·佩奇

大家好！我是小刘同学！

在本帖中，我们将要学习的新知识是三角形内角定理，这个定理在小学时就广为人知:三角形的三个内角之和等于180。

首先要明确定理的概念。通过推理确认的真命题称为定理，定理也可以作为进一步推理的依据。我们还可以得出这样的结论:一个定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。通俗地说，定理就是在任何情况下都绝对正确的定律。你不必怀疑它的真实性，因为这是一代代数经过反复严谨推理证明的真理。

那如何证明任意三角形的三个内角之和等于180？我们可以做平行线，改变角的位置，形成一个平角，然后利用平行线的性质和平角的定义来解决问题。

证明:如图，交点A是直线L，所以L∑BC。

∫L∑BC，

∴∠ 2 =∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠

同理，∠3=∠5。

∴∠ 1，∠ 4和∠ 5形成一个直角，

∴∠1+∠4+∠5 = 180°(角度定义)。

∴∠ 1+∠ 2+∠ 3 = 180(等价替换)。

以上，我们已经证明了任意三角形的内角之和等于180°，并得出以下定理:

三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。

我们理解学习科学需要练题，就是要通过不断刷题来提高能力，积累解题经验。很多人数学物理学不好，是因为题量不够，玩“题海战术”很有价值但是题永远学不完，所以一定要先掌握基础知识。

三角形内角和定理是求三角形内角的主要依据。常用于用角平分线和平行线的知识解决角度问题，有时也用于解决涉及三角形内角和的实际问题。接下来，开始练习这些问题:

第一题

请看问题:在△ABC中，如果一个内角等于另外两个内角之差，那么()

A.必须有一个等于30°的内角。

B.必须有一个等于45°的内角。

C.必须有一个等于60°的内角。

D.必须有一个等于90°的内角。

条件“如果一个内角等于另外两个内角之差”可以表示为∠C=∠A-∠B，我们可以根据三角形内角和定理列出关系式:∠ a+∠ b+∠ c = ∠ a+∠ b+。答案是d。

这个条件另一个更好理解的表述应该改成:一个内角应该等于另外两个内角之和。所以一定有内角等于90°，两种情况分别是90°，45°，45°和90°，60°和30°。

第二个问题

请看问题:如图，在平行线L和L之间放一把直角三角尺，三角尺的锐角顶点A和B分别在直线L和L上。如果∠ 1 = 65，则∠2的次数是()

A.25

b35

C.45

草65

第一种思路:利用平行线的性质

解决方法:如图，根据题意。

∫l∑l(已知)，

∴∠bad+∠ABC = 180°，即(∠1+∠3)+(∠2+∠4)= 180°(两条直线平行且互为内角互补)。

在△ABC

∫∠ACB = 90°(已知)，

∴∠3+∞∠4 = 180-90 = 90(三角形内角和定理)

∫∠1 = 65(已知)，

∴∠ 2 = 180-∠ 1-∠ 3+∠ 4 = 180-65-90 = 25(等价替换)。

第二种思路:用辅助线做三角形

解决方法:如图，做一条辅助线CD，将AC延伸到d点。

∫l∨l且∠ 1 = 65(已知)，

∴∠发展银行

∫∠ACB = 90°(已知)，

∴∠ BCD = 180-∠ ACB = 180-90 = 90(角度定义)，

△BCD中的∴，∠ 2 = 180-∠ BCD-∠ CDB = 180-90-65 = 25(三角形内角和定理)。

第三个问题

请看问题:图为一块试验田的形状(顺其自然△ABC)。管理员从BC边上的一个点D出发，沿着DC→CA→AB→BD的方向走一圈又回到D，然后管理员在回到他原来的地方()的路上掉头。

答:90

乙180

C.270

公元360年

如图所示。从图中可以看出，管理员的身体从出发到返回原地的角度之和为∠1+∠2+∠3。

而∠ 1 = 180-∠ ACB，∠ 2 = 180-∠ BAC，∠ 1 = 180-∠ ABC，

并且< ACB+< BAC+< ABC = 180，

∴∠1+∠2+∠3=540-(∠AC b+∠BAC+∠ABC)= 540-180 = 360 .答案是d。

即△ABC的三个内角分别所在平面的三个直角之和(直角为180°)，再减去三个内角的度数之和(三角形内角和定理)，即180×3-180 = 540-180 = 360°。

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下次见，谢谢！