知识源于沉淀 蒙蒂·霍尔问题
最近看到一个很有意思的问题，内容如下:
电视台抽奖游戏，主持人提供三张背景完全一样的牌 a、b、c，其中只有一张有奖，主持人让嘉宾选择其中一张牌，比如嘉宾选了a，在嘉宾选择完以后，注意是选择完以后，主持人翻开了c 牌，并告诉嘉宾c牌确定没有奖（主持人知道哪张有奖，所以一定会翻开没中奖的牌)，问嘉宾是否要将手中的牌从a更换为b。
请从概率角度分析嘉宾是否换牌。
其实这个问题只是一个著名的概率问题，只是换个说法。这类问题通常被称为“蒙蒂霍尔问题”或“三门问题”。
蒙蒂·霍尔(Monty Hall，1921年8月25日至2017年9月30日出生于温尼伯)，加拿大演员、歌手、运动员，美国电视有奖竞赛节目主持人。他从1963年到1986年长期主持《让我们做笔交易》节目。
在他主持的一个电视节目中，有一个有奖游戏，规则如下:
有一辆汽车和两只山羊藏在三扇门后。
参赛者从三扇门中选择一扇门。他不知道里面是什么。
主人知道每扇门后是什么。
主人必须打开剩下的一扇门，并提供一个换门的机会。
主人总会挑一个有山羊的门。
如果参赛者选择一扇有山羊的门，主持人必须选择另一扇有山羊的门。
如果参赛者选择一扇有汽车的门，主持人在另外两扇门中随机选择一扇有山羊的门。
参赛者将被询问是保持原来的选择还是选择剩下的门。
为了最大化赢得汽车的可能性，就引出了下面类似的讨论:
你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？
虽然这个问题的答案在逻辑上并不矛盾，但却非常违反直觉。因为，如果玩家选择换门，那么赢得车的几率会翻倍。
图解法：图形方法:
这个问题还有一个非常直观的理解：对这个问题还有一个非常直观的认识:
如果参赛选手发生变化，那么参赛选手在最初选择错误的情况下会拿到车；
如果参赛选手不改变，那么在最初选择正确的情况下，参赛选手将获得赛车。
前者发生的概率是
后者发生的概率是。
贝叶斯条件概率计算方法；
在计算概率的时候，一定要知道问题的全集，这个全集包含了所有可能的情况，所有情况的概率加起来应该是1。
回到文章最开始的翻牌抽奖问题，如果主持人没有翻开 c。那么不论选择a、b、c，中奖的概率都是，全集就是.回到文章开头的翻牌抽奖，如果主持人不开C .那么不管你选A，B，C，中奖概率都是，全集都是。
而主持人开了C之后，这个全集是什么？
通常的想法是 。但是按照该计算思路，主持人问的就不应是“要不要换”，而是在 a 和b中再重新选择一次。通常的想法是。但按照这种计算思路，主持人应该不会问“要不要换”，而是在A和b之间再次选择。
主持人问的是要不要换，这里全集应该是“”，这与 有本质的区别。但导致这两种全集计算结果不同的根本原因是：“主持人知道哪张牌有奖”。主持人问要不要改。这里的全集应该是“”，和“”有本质区别。然而，这两次收集结果不同的根本原因是:“主人知道哪张牌有奖。”
我们分别从“随机选择主持人”和“有目的选择主持人”两个方面来计算一下嘉宾的中奖概率:
贝叶斯公式是关于条件概率的公式。一般来说，事件A在事件B的条件下发生的概率与事件B在事件A的条件下发生的概率是不同的..但这两者之间有确定的关系，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。贝叶斯公式的一个目的是从已知的三个概率函数推导出第四个概率函数。
假设有两个事件A和B，当事件A发生时，可以根据事件B的概率得到事件A的概率。其公式如下:
其中 A表示事件A发生，表示事件A不发生；P(A)表示A发生的概率，表示A不发生的概率。其中A表示事件A发生，表示事件A不发生；P(A)表示A发生的概率和A不发生的概率。
表示事件B发生的情况下，事件A发生的概率;表示事件A发生的情况下，事件B发生的概率; 而表示事件A不发生的情况下，事件B发生的概率 。表示如果事件A没有发生，事件B发生的概率。
跳过A、B、C数的限制(注意这里卡片的数字是小写的，以区别于后面表示“事件”的大写字母)，将嘉宾和主持人选择的卡片分别作为事件A和B处理。
即假设客人选择一枚奖牌作为事件A；主持人选择一枚奖牌作为事件b，P(A)表示嘉宾选卡时中奖的概率，表示嘉宾选卡时不中奖的概率。游客面临的问题用贝叶斯公式描述如下:
也就是根据题目，想知道事件A(嘉宾选的卡有奖)在事件(主持人选的卡没有奖)发生的情况下的概率。
情况1。主持人不知道哪张牌有奖。
所以随意挑一张牌。
在这种情况下有: ；(若事件A–嘉宾选择的牌有奖，在该情况下，事件–主持人在剩下两张没奖的牌中选择的牌一定没有奖，条件概率为 1 )；在这种情况下有:(如果事件A——嘉宾选择的牌有奖，在这种情况下，事件——主持人选择的牌在剩下的两张没有奖的牌中一定没有奖，条件概率为1)；
；(若事件–嘉宾选择的牌没有奖，在该情况下，事件–主持人选择的牌没奖的概率为)。)。
带入上面的公式:
可以看出，如果主持人只随机选择一张牌，那么剩下两张牌的中奖概率是一样的，因为主持人没有引入其他条件信息。
情景二:主持人知道哪张牌有奖。
所以他会故意选一张没有奖品的牌。
在这种情况下:；(如果事件A——嘉宾选的卡有奖，这种情况下，事件——主持人选的卡在剩下的两张没有奖的卡中一定没有奖，条件概率为1)；
；(若事件–嘉宾选择的牌没有奖，在该情况下，事件–主持人一定会选剩下的那张没有奖的牌！！！所以该条件概率为 1 )。；(如果事件——嘉宾选的卡没有奖，这种情况下，事件——主持人肯定会选剩下的卡没有奖！！！所以条件概率是1)。
带入上面的公式:
可见，如果主人知道哪张牌没有奖，那么客人手中的牌有奖的概率只有。为了增加胜率，就要选择换一张牌。
参考
[1]蒙蒂·霍尔问题——维基百科，https://en..org/wiki/Monty_Hall_problem
[2]蒙蒂·霍尔——维基百科，https://en..org/wiki/Monty_Hall
[3]https://en..org/wiki/Thomas_Bayes托马斯·贝叶斯-维基百科
来源:研究狗
编辑:井上
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