知识源于沉淀 开普勒第二定律是角动量守恒的结果？如何估算中子星的旋转角速度？4月17日12: 00，张朝阳物理课程第46期播出。搜狐创始人、董事长兼CEO张朝阳坐在搜狐视频直播间，与网友一起回顾了上次直播课介绍的角动量知识，并借助角动量守恒定律证明了开普勒第二定律。然后他又回到了这门课最初的目的，也就是中子星是如何形成的，最后利用介绍的角动量知识来估算中子星的自转速度。
复习角动量定理和开普勒第二定律
直播开始后，张朝阳首先写出了上一课推导出的质点系角动量定理:
这个定理可以应用于刚体的定轴转动，得到非常简洁的形式。他写下牛顿第二定律作为对比:
第一个公式是刚体绕定轴旋转的角动量定理的分量在旋转轴方向的表达式，其中τ为外力矩，I为刚体的转动惯量。第二个公式是牛顿的粒子第二定律。张朝阳说，这两个公式在形式上非常相似。力矩在转动中的作用类似于力，转动惯量类似于质量，衡量转动变化的难易程度，即刚体的“转动惯量”。当刚体绕固定轴旋转时，惯性矩的公式为:
其中r是质量无穷小dm到旋转轴的距离。此时，角动量的表达式是:
如果外力矩等于0，那么角动量不随时间变化，这就是角动量守恒定律。对于理想刚体，角动量守恒表明转动惯量和角速度的乘积不随时间变化。
角动量定理是普遍成立的，所以它不仅可以用于刚体的运动，也可以用于中心力场的运动。引力场和角动量定理作为一个典型的中心力场，同样可以发挥重要作用。在质量为m的行星的引力场中，质量为m的质点所受的引力为:
那么对质点的力矩是:
所以，一个粒子的角动量是不随时间变化的。张朝阳接着推导了粒子角动量的表达式，具体地说:
其中v是粒子的速度。以质点的轨迹平面为极坐标平面，以行星的位置为原点，建立柱坐标系，那么质点的速度矢量可以写成:
其中字母上方的点表示时间的一阶导数。将上述公式代入角动量公式后，我们可以得到:
因此，2D先生的θ/dt不随时间变化。
对于这个结果，张朝阳进一步解释说，考虑到粒子与行星的联系，dθ是这条线在dt时间内转过的角度，那么R 2D θ/2就是这条线在dt时间内扫过的面积。换句话说，单位时间内这条连线扫过的面积是恒定的，这就是开普勒第二定律，可以作为角动量守恒的一个简单推论。
恒星的演化和中子星的形成
复习完角动量定理，张朝阳又把我们带回了最初的目的:计算中子星的自转速度。对此，我们先来了解一下中子星的形成过程。
测量了许多恒星的温度和光度，并绘制在图表上，反映了恒星颜色和星等的分布特征，有助于分析恒星的演化过程。这个图叫做赫兹普朗-罗素图。当恒星处于主序星阶段时，它会根据自身质量在光度-温度图上的某一特定曲线附近，形成一个带状图案，称为主序星带。
恒星质量越大，表面温度越高，光度越大，寿命越短。主序阶段的恒星通过氢聚变为氦核获得能量。当一颗恒星的燃料逐渐耗尽时，它会逐渐离开主序区。在生命末期，与太阳质量相同的恒星外层会被推开，变成红巨星，红巨星会进一步形成行星状星云，其核心最终会变成白矮星。
白矮星是一种靠内部电子气的简并压力而逆引力收缩的天体，它发出的光接近白色。质量是太阳8倍以上的恒星，在生命末期会发生超新星爆炸，大量物质被甩出。超新星爆炸会产生一个非常极端的物理环境，从而产生铁原子之后的具有原子序数的元素。
太阳系中的重元素来自超新星爆发的过程。目前只能在太阳内部制造一些轻核，重核来自很久以前附近发生的超新星爆炸。超新星爆炸还会留下一个致密的核心，其质量超过太阳的1.4倍，导致电子简并压不足以对抗引力的压缩，从而继续坍缩，直到质子和电子反应成为中子，中子简并压抵抗引力。这个阶段的天体叫做中子星。如果这个核心的质量更大，以至于中子简并压力无法与引力抗衡，那么它将进一步坍缩成黑洞。
中子星内部的原子结构已经不存在了，只是被原子核紧紧挤压了一次。这导致中子星非常小，大约10公里大小；同时，它的质量非常大，大约是太阳质量的两倍。所以中子星的密度极高，一勺中子星物质就有几亿吨。
恒星一般都有自转。即使之前它的转速很低，中子星形成后，由于体积和转动惯量的急剧减小，中子星的转速也会很高。这就像花样滑冰运动员在转弯时把手向后拉，从而提高了旋转速度。
另一方面，中子星表面有很强的磁场。由于各种物理效应，中子星会沿着磁极强烈辐射，就像手电筒一样。一般中子星的磁极和旋转轴不重合，所以它的辐射方向会周期性的快速变化。从地球的角度来看，人们会观察到中子星不断发出脉冲。当手电筒旋转指向地球时，会观察到一个脉冲峰值。这样的脉冲峰值会由于中子星的自转而不断重复，这就是中子星作为脉冲星模型的由来。
中子星旋转角速度的估算
接下来，估算脉冲星自转角速度。因为8到15倍太阳质量的恒星最终会形成中子星，张朝阳举了一个典型的例子，估计恒星的质量是太阳质量的10倍左右。由于恒星的大部分质量都集中在内核，如果把内核看成一个均匀的球体，可以估算出它的内核质量大约是太阳内核的10倍，因而它的内核半径大约是太阳的两倍。
超新星爆发后，这颗恒星内部1.5倍太阳质量的物质会变成中子星。在这里，张朝阳做了一个假设:超新星爆发时内部物质的角动量没有传递，所以最终中子星的角动量等于内部物质的角动量是太阳原始质量的1.5倍。为了估算这部分角动量，我们需要知道它的转动惯量，所以我们需要估算这个1.5倍恒星阶段太阳质量的体积。
由于这颗恒星的初始质量是太阳质量的10倍，根据之前直播课程中对太阳的介绍，可以估算出这颗恒星的核心大约是太阳质量的5倍。核心中1.5倍太阳质量的物质会变成中子星，约占整个核心质量的1/3，因此可以估算出这部分物质的半径约为核心半径的立方根的1/3，也就是核心半径的0.6左右(注:立方根的1/3约为0.69，但用0.6也同样合理，因为这里是一个估算)。
太阳的核心半径约为16万公里，而质量是太阳10倍的恒星的核心半径约为太阳的2倍。因此可以估算出恒星中质量为太阳1.5倍的物质所对应的半径约为0.6× 2× 16万公里，也就是20万公里左右。
有了质量和半径，我们就能估算出它的转动惯量。不过，张朝阳还用另一种方法估算了1.5倍太阳质量的核心物质的平均密度。因为恒星的能量来源主要是氢的聚变，这就决定了不同质量的恒星的核心温度大致相同，而在恒星形成初期，氢核主要是通过引力加速达到可以产生核聚变的温度，所以:
其中t是核心温度，k是玻尔兹曼常数，m_p是质子质量，Mc和Rc分别是核心质量和半径，ρ加上一个水平条表示核心的平均密度。因为不同质量的恒星的核心温度大致相同，所以平均核心密度与核心半径的平方成反比。据估计，具有10倍太阳质量的恒心的核心半径大约是太阳的2倍，所以:
其中ρ_sc代表太阳核心的平均密度。因为1.5倍太阳质量的物质在地核中，密度必然高于平均密度，所以张朝阳估计其密度是整个地核平均密度的两倍，即60 g/cm 3。(注:根据之前估算的半径，计算出的密度约为90g/cm 3，是这里估算值的一半。60g/cm 3的估算值将用于后面的计算。)
接下来，估算这个1.5倍太阳质量的转动惯量。惯性矩表达式中的R是柱坐标下的R，但为了简化计算，张朝阳将其视为球坐标下的R，所以:
其中下标mc代表与这个1.5倍太阳质量相关的量。
对于中子星，根据目前对天体物理学的理解，张朝阳估计中子星的核心密度约为表面密度的1/4，密度由内向外呈线性变化，中子星的中心密度用ρ_nc表示，因此中子星的密度分布如下:
其中r是中子星半径。这样，中子星的转动惯量可以估计为:
然后根据角动量守恒，可以估算出中子星的旋转角速度为:
其中n代表中子星，s代表太阳。张朝阳假设星核的自转速度与质量无关，所以他用太阳核的自转速度作为中子星形成前的自转速度。根据目前天体物理学对中子星密度的估算，张朝阳用5×10 ^ 14g/cm3作为中子星的中心密度，中子星的旋转角速度约为太阳内核的10 ^ 9倍。这是非常强的放大效应。
接着，张朝阳展示了太阳各部分的自转频率:
核心的旋转频率约为400× 10 (-9) Hz，因此可以推断中子星的旋转频率为400Hz，即每秒400转。考虑到一颗中子星有两个磁极，也就是发射两个脉冲的方向，中子星每秒脉冲约800次。中子星的脉冲频率在毫秒量级。这些估计结果接近目前的天文观测。
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