有理数的概念

大家在中学的时候都学过有理数和无理数。这里有一些数字。你能立刻分辨出它们是有理数还是无理数吗？

怎么样？简单吗？

但是，你有没有想过，为什么这两个数被称为“有理数”和“无理数”？你认为他们分别指的是“合理的数字”和“不合理的数字”吗？今天，我们来谈谈“有理数”和“无理数”这两个名字的由来。

1 有理数

有理数是整数和分数的统称，整数又可分为正整数、负整数和零。

而整数总是可以写成的形式，其中是整数(可以写成零)。

所以有理数就是可以转换成两个整数之比的数。希腊语中有理数的意思是“比例数”，而英语单词以ratio为词根，在词尾加上-nal构成形容词。全称是有理数，翻译成中文应该是“可比数”。

那么，为什么我们现在学习的名称不是“可比数”，而是“有理数”呢？这是由于在漂洋过海的过程中对数学知识的“误读”，这是东西方数学文化传播中著名的乌龙事件。

有理数的概念起源于西方的《几何原本》，在中国明代从西方传入中国。明末，数学家徐光启和学者利玛窦用拉丁文翻译了《几何原本》的前六卷。他们把()这个词翻译成“理”，这里的“理”指的是它的本义“比”。

徐光启与利玛窦

日本明治维新之前，欧美的数学名著翻译大多采用中国的文言文版本。所以日本学者直接把中国文言文中的“理”翻译成“真”，而不是文言文解释的“比”。后来日本学者直接用错误的理解翻译了“有理数”和“无理数”。

明治维新后，日本的数学发展迅速。到了清末，近代处于落后地位的中国不得不开始派遣留学生到日本留学，中国留学生把自己的错误送回国内，意味着“出口转内销”，于是“有理数”被误传，沿用至今。

2 无理数

有理数听起来像是“有理数”，这种观点在古希腊可能非常流行，尤其是对于毕达哥拉斯学派来说，他们奉行“万物皆数”，视(有理数)为宇宙万物的本源。他们认为，万物的本质是由数量关系决定的，万物按照一定的数字比例形成和谐的秩序。

但是毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现正方形的对角线和它的边长是不可公度的(即两者的长度之比不能表示为整数之比)。无理数的发现对毕达哥拉斯的哲学造成了毁灭性的打击，发现真理的希帕索斯被毕达哥拉斯学派的弟子扔进了大海，处死。所以很多中学老师告诉他们的学生，希帕索斯因为发现无理数而丢了性命，这种无理数太不合理了，以至于他发现的数被称为无理数。

但是，这个传说未必可信。毕达哥拉斯学派有很多严格而奇怪的规则，比如“没有豆子”、“不要用手拿东西”等等。最重要的是，在毕达哥拉斯建立的群体中，财产是公有的，学派成员有共同的生活方式，甚至连科学和数学的发现都被认为是集体的，所以更可能的情况是——希帕索斯。

所以，认为无理数就是“无理数”，其实是一种误解。和有理数一样，无理数的命名也源于翻译问题。其实，无理数的英文单词就是无理数，意思是“不可比”或者“无法表示为比率”。所谓“无理数”，不过是“无限数”的误译。

无理数不能写成两个整数之比。最著名的例子是无理数的证明，其方法是归谬法。我们可以假设它是一个有理数，也就是可以写成两个互质整数之比。

规则

它必须是偶数，所以它必须是偶数，所以

规则

那么一定是偶数，如果一定是偶数，那就都是偶数。这个结论是荒谬的，因为我们已经假设它是互质的，但是两个偶数不可能是互质的，它们至少有一个公因数为2，所以假设不成立，证明了无理数。

3 生活中的无理数

其中，在生活中，我们离不开无理数。比如你拿一张日常生活中随处可见的A4纸，它的长宽比大约是
。

对折后长宽比还是

坚持折叠，无论折叠多少次，总会得到“异形纸”！这个数字永远不会“折”！因为只有这个数字才有这种神奇的属性。

还有著名的黄金比例

它也是一个无理数，存在于大量的绘画、建筑和艺术品中。

我们还能说无理数是“无理数”吗？

参考文献[1]蒋勋，王树红。无理数不是无理数[J]。中学生数学与物理(八年级数学)(附人教社教材)2017(Z1):83。[2](英)罗素。西方哲学史[M]。商务印书馆，2016。[3]

来源:大小吴的数学课堂

编辑:荔枝，yrLewis