平面解析几何

平面解析几何作为高考数学的重要组成部分，主要包括直线和圆以及圆锥曲线两部分。很多同学在通过计算的时候总会感到无所适从。如何突破这个瓶颈？我觉得重点是从思维层面突破解析几何。

解析几何的核心是什么？

简而言之，解析几何就是用代数方法研究几何问题。

一、解析几何的研究对象是几何对象，解决几何问题。我们需要关注几何对象的特征——形状、大小、位置，同时要透彻分析我们所面临的几何问题。如果我们关注单一的几何对象，比如基本的点和线(包括直线和曲线)，我们需要关注它是如何呈现给我们的。如果是描述和表达，就需要思考被描述的特征是如何用代数表达的，为后面的代数做准备。如果是以坐标或者方程的形式给我们，那么代数表达式下的实际几何特征是什么需要我们第一时间去发现。如果关注多个几何对象，不仅要了解单个几何对象的特征，还要了解多个几何对象之间的关系:如果是固定的几何对象，往往更关注它们之间的位置关系；如果有多个几何物体在运动，我们需要找出在运动过程中哪些是变化的，哪些是不变的，在变化过程中有哪些特征是相对不变的。

第二，解析几何的研究方法是代数的，所以计算能力一定要过。不同的代数方法对几何特征有不同的表示，对几何问题有不同的变换，这些变换通过不同的代数运算直接反映出来。代数方法的选择是基于对几何对象和几何问题的研究。只有彻底掌握几何对象的特点，深入思考几何问题，才能选择更好的代数方式。

明确解决解析几何问题的一般步骤

在深刻理解了解析几何的核心“用代数方法研究几何问题”之后，还要学习几何，注意代数方法的选择。

解决解析几何问题一般分为以下四个步骤:

(1)用图形分析几何特征:既然是几何问题，图形就是一种重要的分析方法。通过绘制和标注几何条件，分析所有物体的几何特征，包括单个物体的形状、大小和位置，特别是运动的几何物体在运动过程中不随运动而变化的特征，以及几何物体之间的关系。通过特征分析，为代数几何特征做了充分的准备。

(2)几何特征的适当代数化:对于单个的几何对象，我们通常以坐标或方程的方式进行代数化，对于固定的几何对象，也要注意选择适当的代数手段，如选择不同的方程形式；而几何对象之间的关系往往是通过联立方程和引入参数建立方程来代数化的。这时候就需要特别注意在精确表达的同时，尽可能减少方程和参数的数量，为后面的代数运算“减负”。

(3)优化代数运算解题:比如我们在面对关于值域的问题时，往往会将其转化为函数问题。我们在分析高中几何中的值域问题时，大多可以化为二次函数或者查函数来求解。当我们成功地把它们转化为函数问题时，不仅要注意函数的单调性，还要注意几何背景，比如我们研究的几何对象的范围。再比如一条直线过一个定点的问题。一种方法是写一个带参数的直线方程，通过方程的代数分析找到不动点。另一种方法是通过分析几何对象的特殊位置找到不动点，用先猜后证的方法求解。而先猜测再证明的方法，往往比通过分析找到不动点的计算量要小得多，是解决问题的较好方法。

(4)化代数结论为几何结论，积累解题经验。往往通过代数手段，问题已经解决了，但是几何结论是否有更深的几何背景？比如我们在圆里有圆幂定理，在椭圆里得到类似的结论是巧合还是必然？如果是必然，背后是否有更深的几何意义？当我们积累到一定程度，就会发现分析似乎是帮助我们解决问题的手段，而发现分析背后的原理才是我们思考的终极乐趣。

(作者来自北师大二附中)

《中国教育报》2022年4月22日第10版

作者:王雨馨