很多同学觉得很难判断充要条件。下面是三种常见的判断充要条件的方法,并附有典型例子,供大家参考。
1.用定义来判断
如果已知,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件,根据定义可以判断。
例1。给定P和Q都是R的必要条件,S是R的充分条件,Q是S的充分条件,那么S是Q的_ _ _ _ _ _ _条件;r是q的_ _ _ _ _ _ _ _ _条件;p是q的_ _ _ _ _ _ _ _条件。
解:根据题意可表示为:解法:根据题意,可以表述为:
从传递性可以得出图1。
图1
所以s是q的充要条件;r是q的充要条件;p是q的必要条件。
2.用等价命题来判断
原命题及其否定命题是“同真同假”的等价命题。当难以直接判断原命题的真值时,可以转化为判断其否定命题的真值。这一点常用于充要条件的判断。
由,容易理解p是q的充分条件,而q是p的必要条件却有点抽象。与是等价的,可以解释为若q不成立,则p不成立,条件q是必要的。所以很容易理解P是Q的充分条件,而Q是P的必要条件就有些抽象了。和是等价的,可以解释为如果Q不为真,那么P不为真,条件Q是必要的。
例2. 已知真命题“若则”和“若则”,则“”是“”的____________条件。例2。如果已知真命题,那么“”就是“”的_ _ _ _ _ _ _ _条件。
解:“若则”的逆否命题为“若则”。解:“如果那么”的否定命题是“如果那么”。
又“若”又是“如果”
所以“若”为真命题。所以“如果”是一个真命题。
因此,“”是“”的充分条件。
3.“可视化”必要和充分条件
如果,我们可以形象地认为p是q的“子集”;如果,我们认为p不是q的“子集”,根据集合的包含关系,可借助韦恩图说明,现归纳如下。如果,我们可以形象地认为P是Q的“子集”;如果我们认为P不是Q的“子集”,根据集合的包含关系,可以用韦恩图来解释,概括如下。
图2反映了当p是q的充分和不必要条件时的情况。图3反映了当p是q的必要和不充分条件时的情况。图4反映了当p是q的必要和充分条件时的情况。图5和6反映了当p对于q既不充分也不必要时的情况。
例3. 若,则p是q的什么条件?例3。如果有,P对Q是什么条件?
解:由题设可知解决方法:从题目中可以看出。
参考图3,可以得到p是q的充要条件。
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