充分必要条件

很多同学觉得很难判断充要条件。下面是三种常见的判断充要条件的方法，并附有典型例子，供大家参考。

1.用定义来判断

如果已知，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件，根据定义可以判断。

例1。给定P和Q都是R的必要条件，S是R的充分条件，Q是S的充分条件，那么S是Q的_ _ _ _ _ _ _条件；r是q的_ _ _ _ _ _ _ _ _条件；p是q的_ _ _ _ _ _ _ _条件。

解：根据题意可表示为：解法:根据题意，可以表述为:

从传递性可以得出图1。

图1

所以s是q的充要条件；r是q的充要条件；p是q的必要条件。

2.用等价命题来判断

原命题及其否定命题是“同真同假”的等价命题。当难以直接判断原命题的真值时，可以转化为判断其否定命题的真值。这一点常用于充要条件的判断。

由，容易理解p是q的充分条件，而q是p的必要条件却有点抽象。与是等价的，可以解释为若q不成立，则p不成立，条件q是必要的。所以很容易理解P是Q的充分条件，而Q是P的必要条件就有些抽象了。和是等价的，可以解释为如果Q不为真，那么P不为真，条件Q是必要的。

例2. 已知真命题“若则”和“若则”，则“”是“”的____________条件。例2。如果已知真命题，那么“”就是“”的_ _ _ _ _ _ _ _条件。

解：“若则”的逆否命题为“若则”。解:“如果那么”的否定命题是“如果那么”。

又“若”又是“如果”

所以“若”为真命题。所以“如果”是一个真命题。

因此，“”是“”的充分条件。

3.“可视化”必要和充分条件

如果，我们可以形象地认为p是q的“子集”；如果，我们认为p不是q的“子集”，根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明，现归纳如下。如果，我们可以形象地认为P是Q的“子集”；如果我们认为P不是Q的“子集”，根据集合的包含关系，可以用韦恩图来解释，概括如下。

图2反映了当p是q的充分和不必要条件时的情况。图3反映了当p是q的必要和不充分条件时的情况。图4反映了当p是q的必要和充分条件时的情况。图5和6反映了当p对于q既不充分也不必要时的情况。

例3. 若，则p是q的什么条件？例3。如果有，P对Q是什么条件？

解：由题设可知解决方法:从题目中可以看出。

参考图3，可以得到p是q的充要条件。

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