在正方体abcd-a1b1c1d1中

2022年高考数学理科全国卷B中有这样一道关于立方体的选择题。题目不是很难，提问者也很友好，答案很容易得到。但是，这个问题隐藏了两个很麻烦的问题。如果你能找到并解决它们，你将来在数学方面肯定会做得很好。

在立方体ABCD-A1B1C1D1中，其中E和F分别是AB和BC的中点，则

A.平面B1EF⊥平面bdd1b飞机a1bd

C.平面B1EF//平面A1ACd .平面B1EF//平面A1C1D

解析:这个问题一般的解决方法是画一个草图，利用空之间的立体几何知识和想象力来判断四个选项是否正确。第一个选项被证明是正确的。这太容易了。

但是你要想一想，以后的提问者可能就没那么友好了。如果隐藏答案，需要分析的问题就越多。虽然不难，但需要时间。关键是你不知道提问者把答案设计在哪个选项里，所以应该先分析哪个选项。

于是，老黄开发了第一个问题。如果能把正方体中的所有平面分类总结，比如六个面，那就显而易见了。边上两条平行对角线形成的平面称为“平行对角线平面”。可以发现，立方体关于平行的对角线平面是“体对称”的。此外，这种“平行的对角线平面”相互垂直。这样，如果一个平面能找到一条与某个“平行对角线平面”平行的直线，那么这个平面就垂直于另一个与“平行对角线平面”垂直的“平行对角线平面”。这个平面在立方体中的部分是一个对称图形。我累死了，黄姑且称之为“平行对角线平面定理”。

例如，选项A中的平面BDD1实际上是一个“平行对角线平面”，因为在这个平面上有一对平行的边对角线BD和B1D1。只要连接B1D1，就能直观的找到。并且平面B1EF是由上述定理描述的平面。观察该图，很容易看出平面BDD1垂直于平面B1EF。

用立体几何知识分析选项a的过程是:因为BB1⊥EF和DB⊥EF，EF⊥平面BDD1，从而平面B1EF⊥平面BDD1。虽然这也很容易，但如果能总结出“平行对角线平面定理”，结合空之间的想象，甚至可以做到一目了然。但是，对立方体其他平面的分类，以及性质的探索，老黄还没有能够全部完成。

在画图之前，老黄试着用空的想象力去想象上述情况，很快确定答案是A，不需要画图去探究。当然，每个人对数学的感受不同，需要画画的时候，画画还是必要的。比如老黄灿想象不到选项B的情况，即使做图也很难分析清楚。

所以本题隐藏的第二个问题来自选项B，可以直观的看到，在选项B的草图中，平面B1EF和平面A1BD并不垂直。特别是结合选项A，就更清晰了。但问题是，你怎么用数学方法证明它们互不垂直？这个问题老黄想了很久。虽然已经得到了问题的答案，但是对数学的探索并不能因为答案而戛然而止。为此，老黄制作了以下图片来帮助证明:

很容易证明平面EE1F1F⊥平面A1BD，因为平面EE1F1F平行于“平行对角线平面”ACC1A1，三角形A1BD符合“平行对角线定理”且垂直于“平行对角线平面”ACC1A1，所以平面EE1F1F⊥平面A1BD。

平面ee1ff ∩平面B1EF=EF，如果平面B1EF⊥平面A1BD，那么EF⊥平面A1BD无效！这里应用一个定理:如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面。老黄的所有定理都是立即得到的。欢迎大家来证明老黄的“被蒙蔽”定理是错误的。其逆命题也成立。

于是在这道简单的选择题中，隐藏的两个“问题”，第一个只是老黄部分解决了，第二个是老黄解决了。因为第一个才是真正的问题。

c选项特别简单，因为直线AA1和B1E有交点，两个平面的两条交线和第三个平面有交点，所以两个平面不能平行。这个定理很明显。但是它的逆命题不成立。

d选项有点麻烦。因为从上图可以得出一个定理来直接说明它们是不平行的。所以辅助线需要做如下，即做一个“平行对角线平面”BDD1B1，连接下底面的中点O1、D和B1、EF的中点M。

类似于选项C的分析，如果两个平面平行，那么一定有DO1平行于B1M，这显然不成立，所以选项D也是错的。

学习数学的时候，要注重知识本身。不要过多考虑什么是难，什么是容易。俗话说“全世界的数学都有难度吗？”学了，难的人也就容易了；不学，容易的人就难了。”