知识源于沉淀 直观理解虚数
虚数的概念也一直困扰着我。这些概念似乎太普通了。不求解答的人可能会觉得这都是数学家的事，也可能会对好奇的孩子说:“你长大了就明白了。”很多孩子童年的求知欲可能会因为父母这句看似安慰的话而受挫。所以如果不主动去了解，不仅会错过很多启蒙的机会，还会影响下一代。
在说虚数之前，先提一个比较熟悉的概念，那就是负数。负数的概念是在小学数学中引入的，也就是说，小学生应该能够理直气壮地进行负数的各种运算，但在18世纪之前，即使是当时著名的欧洲数学家，他也不容易理解“负数”的概念。
“负数”在当时被认为是荒谬的，就像毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯在公元500年前发现无理数(也称无限无环小数，如自然常数E，不能写成两个整数之比)一样。
希帕索斯
(来源:维基百科)
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，世界上只有整数和分数(有理数)。然而，希帕索斯发现了令人震惊的“无限无环小数”，即无理数，使得学校人心惶惶，引发了第一次数学危机。传闻希帕索斯最后被他的老师毕达哥拉斯判处溺死。还有一种说法是被学校校长扔到海里淹死了。
当人们直觉感到受到挑战时，人们往往会选择先拒绝。
举个例子，当时的人可以直观的理解为，如果你家里养了四只狗，后来给了别人三只，你就剩一只了，4-3=1。但是如果你家里养了三只狗，然后送给别人养，这是什么狗？！
所以人们无法直观理解的计算方法在当时是不可接受的。结果，英国数学家弗朗西斯·马塞雷斯在1759年也说:“负数是黑暗的，是方程的所有博士。”。
弗朗西斯·马塞雷斯
(来源:维基百科)
就连莱昂哈德·欧拉也为“负数”这个概念纠结了很长时间。但如今，认为负数“没用”或“不合逻辑”真的很荒谬。
那为什么人们对负数的理解发生了180度的转变？因为我们发明了一个具有有用性质的理论数，负数不能用来描述我们能直观地看到、摸到、感觉到的东西，但却能很好地描述某种关系。
如“债”。人们会在日常开销中记录各种交易信息。如果你欠别人50元，你就记-50。赚到100元后，可以直接用100+(-50)=50算出自己的钱，无需更多文字描述。负数已经把这种关系植入其中了。既然有这样的属性，有什么理由说它没用呢？由此可见“关系”的重要性~
虚数也有类似的命运，从名字就能看出来似乎受到了不公平的对待。一元二次方程x 2 = 1有两个解，x=1和x=-1。方程x 2 =-1呢？在求解之前，我们不妨假设x的解是存在的，就像负数一样，奇怪的概念往往有自己的值。
对于方程x2 =-1，实际上可以写成x×1 =-1。我们把“乘以x”看作是一种“变换”。通过两次这样的变换，我们最终把1变成-1。但是我们无法通过乘以两个正数或者乘以两个负数来实现从1到-1的过渡。“转化”并没有改变问题本身，只是改变了看问题的角度。
但是如果这个变换是旋转呢？数轴从一维延伸到二维，从1到-1的过渡就是绕原点旋转180度，这是两个“乘以X”作用的结果。可以想象，X是否作用于1，意味着逆时针旋转90度。
这种坐标系形成的平面也叫“复平面(横轴为实量纲，纵轴为虚量纲)”，字母I作为这种情况下X的解，用来指代“逆时针旋转90度”的变换。
(来源:betterexplained)
如果要顺时针旋转90°呢？
答案是:乘以-I就可以了。
(来源:betterexplained)
如果你用-i乘它两次，它和乘它两次是一样的，你得到-1。
如果分别乘以0倍、1倍、2倍、3倍、4倍、5倍I，可以得到:
可以得出以下结论:
1=1(毫无疑问)
I =i(感觉像废话)
I 2=-1(原因上面已经解释过了)
I 3 = (I I) I =-1 I =-I(逆时针旋转三次90°相当于顺时针旋转90°)。
I 4 = (I I) (I I) =-1-1 = 1(逆时针旋转90°四次，回到初始位置，循环结束)。
I 5 = I 4 I = I(开始下一个循环，逆时针旋转90°)
(来源:betterexplained)
同时，上图不自觉地将数从一维实数域扩展到二维复数域，即实数和虚数的组合。或者:复数=实部+I虚部。例如，如果一个复数Z的实部为1，虚部为1，则可以得到复数Z =1+i。
复数z可以看作复平面上的一个点(1，I)，如下图所示。也就是说，它沿实轴方向前进1，沿虚轴方向前进1。它在实轴和虚轴上的投影值是实部和虚部的值，它的长度或“模”是点到原点距离的根号2。点与原点连接后，与实轴正方向的夹角为45°，称为辐角。由于它既有长度又有方向，所以复数也可以看作复平面上的一个向量。
(来源:betterexplained)
为了描述复平面上的任何一点，它可以写成更一般的形式:
其中a和b分别称为复数z的实部和虚部。
z的长度或“模量”是从z点到复平面中心的距离:
z的振幅为
我们举一个复数的计算例子。有一点要记住，两个复数相乘的结果是把它们的模长相乘得到最终的模长，把它们的振幅相加得到最终的振幅角。
假设我们在一艘帆船上。现在帆船的航向是东北，每向东三个单位就会向北四个单位。如果我们想改变航向，让它逆时针旋转45°，新航向是什么？
(来源:betterexplained)
如果放在复平面上，船的位置在圆心，那么当前的航向就可以直接用一个复数来表示，即3+4 i，如果要逆时针转45°，可以把这个复数乘以1+i，因为1+i的幅度正好等于45°。
计算过程是:
画一张图很直观。新的路线是每向西走一个单位就向北走7个单位。
(来源:betterexplained)
振幅角tan-1 (7/-1) = 98.13。
注意，如果要保持速度不变，需要在上面计算结果的基础上除以根号2，因为复数1+i的模就是根号2。
既然复数具有旋转性质、大小和方向，是虚数的存在将一维实数域推广或扩展到二维复数域，那么有什么理由说虚数是虚数呢？
参考
[1]https://en..org/wiki/Hippasus希帕索斯
[2]弗朗西斯·马塞雷斯，https://en..org/wiki/Francis_Maseres
[3]虚数的直观指南
https://better explained . com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
来源:研究狗
编辑:井上
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