知识源于沉淀 数学分析(或微积分)应该说是进入大学后最重要的数学基础课。以后学的很多课程都和它有关，它的理念、思想、方法渗透到很多地方，所以学好它很重要。在这篇短文中，我将根据自己的学习经验，与大家分享一些拙见。全文分为三个部分，分别是“数学分析的内容”、“相关书籍”和“学结”。限于篇幅，我们只能提一些最关键的东西。
数学分析的内容
单位微积分
微积分从牛顿和莱布尼茨创立开始，就已经成为一门完整而成熟的学科，之后又经过柯西和维尔斯特拉斯的严格规范。它是学习函数论的最基础的学科。虽然这个理论有一些缺点，但并不妨碍它成为现代科学的数学基础。
准确地说，实数范围内的“数学分析”是数学专业的名称，而“分析”是微积分相关学科的统称。在我国，理工科学生的微积分课程一般称为“高等数学”，也涉及到空之间的一些解析几何和一点常微分方程，但其微积分内容仍包含在“数学分析”课程中，要求较低。本文仍然基于数学作业“数学分析”课程的内容。
数学分析的课程内容大致可以分为三部分:单元微积分、多元微积分、级数。
单位微积分要处理的是单位函数的“极限”、“微分”、“积分”。极限是贯穿整个微积分理论的一个概念，理解和处理它非常重要。一般从离散序列开始，再到一般的连续函数。会有一系列关于极限和收敛的结论。但最重要的是掌握极限的定义和相关的“δ-ε”语言。没有基本定义的学习是空中的城堡。需要注意的是，实数理论作为极限理论的基础，非数学系一般不要求，但数学系的学生必须掌握。
微分和导数可以更详细地分析函数的性质。首先要注意的还是概念，尤其是“差别”。学过微积分的人，有一半以上说不清“微分”到底是什么，和导数有什么关系。这部分最重要的内容是中值定理(费马中值定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理)和泰勒展开式，而我们需要掌握的是求各种函数的极限。洛必达定律作为中值定理的产物，在求极限中起着重要的作用。
积分理论的第一个内容就是求不定积分，也就是导数的逆运算，这就需要各种方法，比如换元法，分部积分等。广义定积分理论是黎曼奠定的基础，也有大补等人的贡献。定积分的定义也很重要，关于可积性，和实数理论一样，数学系会强调要求。牛顿-莱布尼茨公式沟通了微分和积分的关系，是这个理论的灵魂。能够求各种定积分也是这门课的内在要求。定积分也有很多重要的性质，尤其是两个重要的积分中值定理。但是并不是所有的函数都可以积分，所以需要判断广义积分是否收敛，这是另一大难点，需要掌握几个重要的判断标准。
多元微积分
多元微积分理论是单位微积分理论的自然延伸，但它有自己独特的特点。首先，多元函数的极限和连续性变得复杂，极限顺序能否互换成为关键。可微与可微的关系不再像单位函数那样直接，需要谨慎处理。多元复合函数的求导法则也变得复杂起来，掌握链式法则是关键。同样，多元函数也有相应的中值定理和泰勒展开式。之后隐函数的处理也是一大难点。偏导数的应用，尤其是空之间的解析几何，充分显示了它的优越性。多元函数微分学的重要内容之一就是求极值，这在以前是很难做到的。极值分为无条件极值和条件极值，判断规则要熟悉哪一种。
多元函数的积分理论比单元函数的积分理论丰富得多。首先是一般的多重积分，其中变量替换和积分区域的判断是重点。同样，多重积分也有反常积分。然后是曲线积分和曲面积分，分别有两种类型，有相对固定的积分方法。之后又导出了更一般的格林公式和高斯公式，以及与物理学中的场论密切相关的更一般的斯托克公式。然后就是参数积分，顾名思义就是带参数的积分。它需要研究它的连续性、可微性和可积性，它的一致收敛性尤为重要。这部分还会涉及到一些特殊的函数，比如伽马函数，贝塔函数。
系列
级数理论是数学中有特色的内容，级数也是研究函数性质的有力工具。级数部分大致可以分为几个级数，函数级数，傅立叶级数。对于几个级数来说，判定收敛是首要内容，判定规则有柯西判别式、达朗贝尔判别式、拉贝判别式、积分判别式。对于任意级数，有阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。对于函数项级数，一致收敛是最重要的内容，有一系列的判别方法。一致收敛的重要性在于它可以判断函数项级数是否可以逐项求导或积分，这对于函数项级数的求和是非常重要的。幂级数作为一种特殊的函数级数，具有许多良好的性质。
傅立叶级数本来就是傅立叶分析的一部分，一般的数学分析教材也会涉及到。函数的傅里叶级数展开很容易，但判断一个傅里叶级数的收敛性并不容易。傅立叶级数的良好性质使其不仅在数学中有用，在物理等学科中也很有用。
相关书籍
不管你在哪个大学，用什么教材，我觉得教辅书都是必不可少的。好书可以帮助你学习，坏书真的会毁了你的学习。
首先，Fichkingolz的三卷本巨著《微积分教程》非常值得推荐。毕竟是大家的杰作，所以很有参考价值。微积分课程理论与应用兼顾，内容非常丰富，堪称博大精深。但是缺点是不可避免的。第一，空间太大。其次，因为书写了很久，观点可能有些陈旧，所以同学们要根据自己的需要去读。陈天全《数学分析讲义》就是传说中的地狱般的难度。如果没有秒杀普通教材的能力，不建议轻易尝试这本书，尤其是新手。不过课后的练习还是很不错的，认真做对提高水平很有好处。作者在序言中也写了很多关于数学学习的想法，很有参考意义。此外，如佐罗切的《数学分析》，张竹生的《数学分析新论》，鲁丁的《数学分析原理》等都很好，可以借鉴。没有最好的教材，只有适合自己的，要根据自己的需求来选择，所以不建议从头开始读，不利于打好基础。数学分析还有很多其他好的教材，但是很难一一介绍。
我个人认为学习数学分析非常好的练习本是裴的《数学分析中的典型问题与方法》，这是一本很大的综合性练习本，很难全部看完。书中的习题非常丰富，像一本百科全书。文中的问题都有详细的答案，课后的练习也只有提示，而且基本都不是很简单。如果你能认真做，我相信数学分析的水平应该算很不错了。但不可理解的是，书中并没有不定积分的问题。如果有大神觉得不够，可以试试周民强的数学分析习题，和陈天全的教材一样变态，答案也很长，适合研究性学习。但是，缺点非常明显。书中确实有很多排印错误，有些论点也有一些问题。我希望他们能在未来得到纠正。吉米多维奇很有名，但个人不建议刷。很多问题太复杂，有些有执迷不悟的嫌疑。此外，如谢会民的《数学分析练习讲义》也很好，有很多启发性的问题。可惜课后的题都没有答案，需要努力去做。其实这并不是一件坏事。
学结
这部分的学习一般是理工科两个学期，数学三个学期，可见其重要性。对于这部分的学习，我有以下拙见。
首先要注意基础，这里的基础是概念定义。如前所述，很多人在学习之后，对什么是“无穷小”，什么是“微分”感到困惑。更多的人学习了它的方法，却忽略了它的思想，但真正重要的是思想。所以要认真看书，书中的概念和定义一定要清晰。很多老师喜欢把书的内容浏览一遍，然后让大家做题来学习技巧。其实这是一种非常不负责任的教学方式。另外，证明书中的定理也很重要。这些证明包含了一些典型的方法和思想。掌握它们是非常重要的。即使漫长艰难，也要坚持下去。
先说做题，学数学也避免不了做题。苏说他学微积分的时候做过一万道题。虽然我们不可能实现这个宏伟的目标，但是要把它们做好。我国的数学教育体系是仿照前苏联的，直到现在还有很深的痕迹。俄罗斯的数学教育非常重视训练，所以今天我们可以看到很多来自俄罗斯的数学习题集，很多俄罗斯的教材甚至专门写习题册。练习的初衷是辅助学习，但在中国却成了分散注意力的事情。适当的解题是根据自己的需要来选择，不允许成为学习数学的主题。与其拿出几本书多学点，不如花大量时间做题。
最后，我想强调一下对内容的整体把握。整个课程的内容是相互关联的，而不是割裂的。很多同学就是喜欢学一部分，丢一部分，要考试的时候就匆匆忙忙的复习，这对于在脑子里形成知识框架是非常不利的。缺乏整体把握的直接后果就是，学完知识很快就忘了，脑子里马上就空空，对以后的数学学习也是非常有害的。所以学完之后，你可以问问自己这门课讲的是什么，各部分之间有什么联系。
当然，学习数学分析(或微积分)需要注意的事情和方法有很多，这里就不赘述了。学习理应是八仙过海，各显神通，而不应沾沾自喜，局限于固定套路或简单模仿他人。还是那句话，适合自己的才是最好的。
