知识源于沉淀 原文:https://betterexplained.com
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弧度与角度
圆的角度是360度，这是显而易见的事实吧？
不对。大多数人不知道为什么一个圆有360度。我们只是把它记成了一个神奇的数字，也就是一个圆的大小，导致我们在以后的物理或者数学的学习中对所谓的“弧度”感到困惑。
专家说“弧度让数学更简单！”，但从不解释原因(泰勒级数涉及不简单)。今天，我们就来揭开弧度真实的一面，了解它为什么会以更直观的方式让数学变得更简单。
4.1 角度是从哪里来的呢？
在数字和语言发明之前，我们有星星。古代文明用天文学来标记季节，预测未来，告慰神灵。
这和角有什么关系？好吧，孩子，猜猜这个:圆圈有360度，一年有365天，这不是很奇怪吗？星座一年就这么在天空中徘徊空不奇怪吗？
如果你不懂航海，就不能像海盗一样通过夜晚空判断季节。这是2008年纽约的北斗七星(大熊星座)地图(如图)。
星座每天都在转圈。如果每天同一时间(午夜)观察，它们会在一年内画出一个完整的圆。这是角度生成的理论:
人类注意到星座每年都划一个完整的圈每天，它们都移动一点（“一度”）因为一年大概有360天，所以一个圆也就有360度。
但是，但是…为什么不是365度？
不要太苛求:他们有日晷，但他们不像我们一样准确地知道一年有365.99天。
360足以满足当时的需求。它完全符合巴比伦的60位计数法，并且可以被2、3、4、6、10、12、15、30、45、90整除
4.2 基于太阳的数学看起来非常合理
地球只是没有被选中:一年有360个完美的日子。但这似乎完全是武断的:如果你在火星上，一个火星年更长(火星日也更长，但你明白要点是好的)，所以圆大约是680度。欧洲部分地区使用另一种历法，一个圆被分成大约400个部分。
很多解释到这里就结束了，“圆的角度是任意的，但我们总是需要选择一个数字来表示它”，而不是“要想理解角度的整个假设基础，就必须追溯到过去”。
4.3 弧度有规则，角度则是在胡扯
一个角度是一个数字I，观察者需要倾斜他的头才能看到你这个运动员。你不觉得这有点自私吗？
你:嗨，比尔，你去了多远？
比尔:嗯，我的速度很快。我走了大约六七英里-
你:闭嘴。我的头移动了多远才能看到你？
比尔:什么？
你:我简单说一下。我在跑道中间。你到处跑。我的头转了多少？
比尔:你这个混蛋。
很自私，不是吗？这就是我们使用数学的方式！我们写下方程式“嘿，我的头转了多少才能看到行星/钟摆/轮胎移动？”。我打赌你从来不在乎摆钟的感觉。
你不认为对于运动员和观察者来说物理方程应该保持简单吗？
4.4 弧度：不再自私的选择
很多物理问题(包括生活中的大部分)都需要你选择一个参照系，然后从第三方的角度去观察。与其在乎我们的头转了多少，不如考虑别人走了多远。
这个角度是通过测量我们的头转动了多少来确定的。弧度是通过测量行进的距离来确定的。
但是绝对距离是没用的，因为走十里不同跑道不一样。所以我们除以半径得到一个更一般的角度:
弧度=行进距离/半径
你经常看到的形式是θ = s/r，或者以弧度为单位的圆心角=弧长除以半径。
一个圆有360度或2πr/弧度-一个完整的圆绕圆的距离是2π r/r。所以一个弧大约是360/2π或57.3度。
但是不要像我一样“记住一个神奇的单位量，57.3度好奇怪”。因为你还在从自私的角度考虑。
移动一弧度(单位)是正常距离。换句话说，“干净的90度角”就是“非常难看的π/2个单位”。想想这个——“嘿，比尔，你能帮我跑90度吗？那是什么？哦，是的，在你看来，那离我π/2英里远。”这两种方法非常不同。
曲率是一种换位思考的数学方法——不再以观察者的头转了多少来衡量，而是以运动员的角度来思考问题。
严格来说，弧度是一个比值(两个长度的比值)，范围没有限制。一般来说，我们不是数学机器，这可以帮助我们认为弧度是“一个单位圆的距离”
4.5 使用弧度
我还是习惯用弧度来思考。但是我们经常会遇到“移动距离”这个概念:
我们测量一个转动速度时使用“每分钟的转数”而不是“每秒转过的角度”。这是以运动者的参考点（“走了多少圈呢”）来考虑，而不再是考虑任意的角度测量。人造卫星绕地球转动时，我们能理解“英里每小时”这个速度，但是不能理解“角度每小时”这个速度。现在除以距离便得到人造卫星弧度每小时的速度大小。正弦函数，非常神奇的一个函数，可以利用弧度来定义：sin(x) = x – x^3/3! + x^5/5! – x^7/7! + …
这个公式只在x为弧度时成立！为什么？正弦函数是基于移动的距离，而不是基于头部的旋转。这个问题我们以后再详细讨论。
4.6 弧度示例1：公车的轮胎
我们举一个现实生活中的例子:你有一辆轮胎半径两米的公交车(这是一辆怪物公交车)。我说公交车上多少个轮胎转，你说公交车跑多快。你准备好了吗？
“轮胎以每秒2000度的速度旋转”，你会这样想:
好的，轮胎每秒转2000度。这意味着2000/360，也就是每秒5 5/9圈。周长= 2π r，所以它旋转，呃，2乘以3.14乘以5 5/9圈…我的计算器在哪里？
“轮胎每秒旋转11弧度”，你会这样想:
弧度是沿着单位圆移动的距离——我们只需要乘以真实半径就可以得到我们移动的距离。11乘以2等于每秒22米。下一题。
哇！没有复杂的方程，没有麻烦的π-简单地相乘，然后你就可以把旋转的速度转换成直线运动的速度。一切都只是因为用弧度表示。
反过来做也一样容易。假设我们在高速公路上以每秒90英尺(每小时60英里)的速度行驶，轮胎宽24英寸(半径一英尺)。我们转动几个轮胎？
好的，每秒90英尺/1英尺半径=每秒90弧度。
很简单。我甚至觉得说唱歌手唱《24个轮圈》就是这个原因。
4.7 弧度示例2：sin(x)
我们举个更好的例子。计算涉及很多东西，包括数字变得很大或者很小时会发生什么。
选择一个度数(x)，然后将Sin(x)输入计算机:
当你把x取得很小时，比如说0.01，Sin(x)也会变得很小。而Sin(x)/x的值约为0.17——这意味着什么？更进一步，乘以或除以一个角是什么意思？你能画出这个角的平方或立方吗？
弧度是救世主！与行驶的距离有关(不止是比例！)，我们可以这样解释这个方程组:
x是沿着一个圆走了多远sin(x)是你在这个圆上有多高
那么sin(x)/x就是你的高度与你走过的距离之比:也就是你在向上的方向上所拥有的能量。如果垂直移动，比例是100%，水平移动是0%。
如果我们移动一个小角度，比如从0度到1度，那么它基本上是垂直移动的。如果是一个更小的角度，比如从0度到0.00001度，那么它真的是垂直移动的。移动的距离几乎等于它的高度。
随着X的减小，比例逐渐接近100%——更接近垂直运动。弧度帮助我们直观的理解为什么当x足够小时，sin(x)/x接近1。我们只是在垂直方向上稍微向上推了一下。这就揭示了为什么只有当x取小值时，sin(x)才大约等于x。
请记住，这些结果仅在以弧度测量时有效。如果你以角度为单位，你就是在拿你的身高和你脑袋转动的角度做比较。这个比例变化很快。
4.8 那么有很么意义呢？
角度有它的位置:在我们的生活中，我们在自己的焦点中，观察周围的事情如何影响我们。我的望远镜应该倾斜多少度，我的滑雪板应该转多少度，或者方向盘应该转多少度。
对于我们来说，成为观察和描述其他运动的对象是很自然的。弧度是关于移动的物体，而不是我们。我花了很长时间才意识到这一点:
角度是任意的，因为它是基于太阳运动的（365天~360度），但是因为是基于观察者的角度，所以比较落后。因为弧度是以运动者的角度来定义的，所以公式简单明了。把转动速度变为线性速度相当简单，而且sin(x)/x之类的也有意义。
甚至角度也可以从多个角度去理解，理解弧度可以让数学和物理更直观。我希望你能享受快乐数学。(完)
