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1、给定正整数n和正数M,对于满足条件a21+a2n+1≤M的所有等差数列a1,a2,a3,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。
2、 解:设此数列的公差为d, 则S= an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)(a1+32nd).故Sn+1=a1+32nd. 由n给定,故应求a1+32nd =t的最大值. M≥a12+(a1+nd)2=2a12+2a1nd+n2d2=λ(a1+32nd)2+(2-λ)a12+(2-3λ)a1nd+(1-94λ)n2d2 (若(2-λ)a12+(2-3λ)a1nd+(1-94λ)n2d2能配成完全平方式,则可求出t的最大值.) 取(2-3λ)2-4(2-λ)(1-94λ)=0,即4-12λ+9λ2-8+22λ-9λ2=0,λ=25. ∴ M≥25(a1+32nd)2+110(4a1+nd)2≥25(Sn+1)2. ∴ S≤10 2(n+1)M .等号当且仅当4a1+nd=0及M=25(a1+32nd)2时成立.即a1=-14nd,a1=-10M 10 ,d=410 •1nM 时成立.易算得此时a12+an+12=M,S=10 2(n+1)M . ∴ S的最大值为10 2(n+1)M . 梅西哥哥,这个是1999年全国高中数学联合竞赛第一试的第五题吧,我从网上搜了一下答案,希望能帮助哥哥!。
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