椭圆的切线方程结论及证明 椭圆的切线方程

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1、这是一位老师和学生的课堂对话,希望对你有启发： 师： 在教材中,我们学习了圆的切线方程：＊ 若圆方程为 , 为圆上的点,则过P点的圆的切线为：．它是如何求的呢?生A： 根据切线的几何性质：切线的一个法向量为 , ∴ 切线方程为： , ∵ 在圆上,∴ 切线方程为： ．师： 本题充分应用了切线的几何性质．有学生问：很多的参考书上有：＊ 若椭圆 　, 是椭圆上的点,则过P点的椭圆切线方程为： ；结果和圆类似,非常的美观,但是不知怎样求．也尝试过如：设切线的点斜式方程、根据 来求斜率,式子很繁,也不容易求．是否有比较简单的办法?师： 圆的切线方程是用切线的几何性质来求的,椭圆的切线方程我们也想用切线的几何性质来求．椭圆的切线有何性质呢?本节课我们就来研究椭圆的性质及切线方程．＊　 椭圆切线的定义：若直线与椭圆有且只有一个交点,则称该直线为椭圆的切线．师： 昨天同学们做了这样一题：＊ 直线： 上取一点M,过点M且与椭圆： 共焦点作椭圆C,求椭圆C长轴最短时的椭圆方程．生Ｂ：椭圆C的焦点 、 ,可设椭圆方程为 ,　　∵ 椭圆C与直线 有交点M,得方程组： 　有解；消y得 　 ∴　 , ∵ , ∴ ．　　　 ∴ 椭圆Ｃ的方程为 ．生Ｃ： ∵ 、 在直线 的同侧,要使椭圆的长轴最短,即：在直线 上求点M,使M到 、 的距离之和最小,并且最小值为2a．解法为： 关于 的对称点为 （∵ 、 在直线 的同侧,这是可以办到的．） ∴ ,且M为线段 与直线 的交点, ∴ 求得椭圆方程是 ．师：　同学们都是这两种方法吧?那么请学生思考并回答：直线 与 是否相切?为什么?生Ｄ：直线 与 相切．理由：因为当 时,判别式△=0 直线与椭圆相切．师：　很好!这位同学是通过第一种解法过程来判别；那么根据第二种的方法能判断直线与椭圆相切吗?（请学生先独立思考,后一起讨论）哪一个学生回答?生Ｅ：根据第二种的解法,只有M点到椭圆焦点的距离之和为 ,直线上其它的点到两焦点的距离之和都大于 ,因些椭圆与直线只有一个交点 , ∴ 相切．师：　回答很好!＊ 已知椭圆 焦点为 、 ,直线 ．满足怎样条件时,直线l是椭圆的切线?生Ｆ： ⑴ 、 在直线l的同侧； ⑵ 直线l上点到 、 的距离之和最小值为2a．师：　那么它的逆命题是否成立呢?生Ｇ：也成立,因为l是切线,所以直线l上仅有切点到两焦点的距离之和为2a,其余点到两焦点的距离之和都大于2a,故直线l上点到 、 的距离之和最小值为2a．师：　这就是我们一起讨论的椭圆切线的一个几何性质．现在我们想用这个几何性质求椭圆的切线方程．师：　已知椭圆　 　,且 在椭圆上,过 的切线l的方程如何求呢?　　　 (学生思考讨论,并提供解题思路) 生H：只要求出切线l的法向量．可先求焦点 关于切线的对称点 , 用定比分点来求．按照这位同学的思路我们一起来思考、解决．设 在直线 上且 分有向线段 所的比为 , ∴切线l的一个法向量为： ∴ 切线方程为 ∴ 又 ∴ 又P在椭圆上∴切线方程 教师总结：解析几何主要是用代数的方法讨论一些几何问题,由于我们研究的曲线都是几何定义给出的,有效地挖掘这些性质,对帮助我们的解题,常起到事半功倍的效果．因此,在平时学习中多做有心人多总结、多思考,才能发现知识之间的内在联系． 思考：　⑴ 利用椭圆切线的性质,证明椭圆的光学性质． ⑵ 给定一椭圆,若该椭圆与两条互相垂直的直线都相切,请研究该椭圆中心的轨迹．（2004年交大自主招生试题） ⑶ 与椭圆类比,请研究双曲线的切线．。

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