三角形重心的定义和性质以及证明 三角形重心的定义

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1、三角形只有五种心 重心:三中线的交点; 三角形重心是三角形三边中线的交点.当几何体为匀质物体时,重心与形心重合.性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.三角形中心当且仅当三角形是正三角形的时候,重心、垂心、内心、外心四心合一心,称做正三角形的中心.三角形只有五种心重心:三条中线的交点,三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2（也称中心）；垂心:三角形三条高的交点;内心:三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 到三边距离相等外心:三中垂线的交点,是三角形的外接圆的圆心的简称；到三顶点距离相等旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,重心、垂心、内心、外心四心合一心,称做正三角形的中心. .三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形垂心在三角形内部.直角三角形垂心在三角形直角顶点.钝角三角形垂心在三角形外部.垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点.三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6组四点共圆.性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2．锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上.4、 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆.7、 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.8、 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短（施瓦尔兹三角形,最早在古希腊时期由海伦发现）.1西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上.12、 设锐角△ABC内有一点P,那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA.13、设H为非直角三角形的垂心,且D、E、F分别为H在BC,CA,AB上的射影,H1,H2,H3分别为△AEF,△BDF,△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.14、三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线.15、三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.（垂心伴随外接圆,必有平行四边形）推论（垂心余弦定理）：锐角三角形ABC的垂心为H,则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距,推广到任意三角形）16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段,靠近顶点的那段长度为高的三分之二.外心指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点.用这个点做圆心可以画三角形的外接圆.指三角形外接圆的圆心,一般叫三角形的外心.O为外接圆圆心,OA=OB=OC三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.内心是三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心.内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）.　　内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.内心到三边的距离相等.性质：设△ABC的内切圆为☉O(半径r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.三角形的三个角平分线交于一点,该点即为三角形的内心.2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.3、r=S/p.证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论.4、△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.5、∠BOC=90°+∠A/2.6、点O是平面ABC上任意一点,点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0.7、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).8、△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)).9、(欧拉定理)△ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI2=R2-2Rr.10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中,AD是∠A的角平分线,D在BC上,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,d=AD.设R1是△ABD的外接圆半径,R2是△ACD的外接圆半径,则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC,d=2R1sinB=2R2sinC,∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD, CD=2R2sinCAD,∠CAD=∠BAD,∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC。

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