欧几里得证明勾股定理带图 欧几里得证明勾股定理

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1、如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。

2、（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

3、 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

4、 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

5、 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

6、 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。

7、 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

8、 画出过点A之BD、CE的平行线。

9、此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。

10、 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。

11、 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。

12、 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

13、 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。

14、 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。

15、 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。

16、 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。

17、 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。

18、 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = C²。

19、 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

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