斯特瓦尔特定理特殊情况 斯特瓦尔特定理是什么

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1、斯特瓦尔特(stewart)定理　　设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有　　AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC＝BC·DC·BD。

2、　　证明：在图2－6中，作AH⊥BC于H。

3、为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有　　AC^2=AD^2＋DC^2-2DC·DH，（1）　　AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。

4、 （2）　　用BD乘(1)式两边得　　AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，（1）′　　用DC乘(2)式两边得　　AB^2·DC=AD^2·DC＋BD^2·DC＋2BD·DH·DC。

5、（2）′　　由（1）′+（2）′得到　　AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD＋DC)+DC^2·BD＋BD^2·DC　　=AD^2·BC+BD·DC·BC。

6、　　∴AB^2·DC＋AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。

7、　　或者根据余弦定理得　　AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos角APC　　AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos角APC　　两边同时除以PB·PA·PC得　　AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB　　化简即可（注：图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC) 提问人的追问   2009-05-15 18:53 你还知道什么是余弦定理和广勾股定理吗？ 回答人的补充   2009-05-15 19:02 　　广勾股定理　　勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”．如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了．　　广勾股定理：在任一三角形中，　　(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．　　(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．　　证明　　(1)设△ABC中，BC是锐角A的对边(图2－4)．作BH⊥AC于H，因为　　AB²=BH²+AH²，　　BC²=BH²＋CH²，　　所以，　　BC²-AB²=CH²-AH²．　　∴BC²=AB²+CH²-AH²． (1)　　但是CH²=(AC－AH)²　　=AC²-2AC·AH+AH²． (2)　　将(2)代入(1)就得到　　BC²=AB²＋AC²-2AC·AH．　　(当H在AC边的延长线上时，结论是一样的．)。

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