阿波罗尼斯圆证明 阿波罗尼斯圆

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1、阿波罗尼斯（Apollonius）圆,简称阿氏圆.[编辑本段]定义 在平面上给定相异两点A、B,设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径,且MN=［2λ／（λ^2-1）］AB.[编辑本段]证明 我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ,其中BN=AN+AB,所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP),以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆.[编辑本段]性质 由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理,即：设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标,下同）、mb、mc,则有以下关系：b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； a^2+b^2=c^2/2+2mc^2.（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）.。

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