怎么证明直角三角形斜边上的中线等于 怎么证明直角三角形斜边上的中线

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1、证明：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

2、设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

3、【证法1】延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

4、∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD，又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），    AD=DE，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

5、【证法2】取AC的中点E，连接DE。

6、∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC，∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

7、【证法3】延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。

8、∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD，又∵AD=DE，∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠BAC=90°，∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），∴AE=BC（矩形对角线相等），∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

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